一道高考試題的解法\\來源及變式

例題 已知函數f(x)=sinx+tanx.項數為27的等差數列{an｝滿足an∈(-，)，且公差d≠0.若f(a1)+

f(a2)+…+f(a27)=0，則當k=_____時，f(ak)=0.

一、試題解答

不難猜出，本題的結論為k=14，但如何證明?不少同學甚至一些老師都感到困惑. 下面給出證明過程:假設f(a14)≠0，若f(a14)>0，由于f(x)=sinx+tanx在(-，)上是增函數，且f(0)=0，a14∈(-，)，則f(a14)>f(0)，即a14>0，

又{an｝為等差數列，則a1+a27=a2+a26=…=a13+a15=2a14>o，

所以a1>-a27，a2>-a26，…，a13>-a15，由于an∈(-，)，-an∈(-，)，且f(x)=sinx+tanx在(-，)上是增函數，則f(a1)>f(-a27)，f(a2)>f(-a26)，…，f(a13)>f(-a15)，而f(x)=sinx+tanx為(-，)上奇函數，則f(-an)=-f(-an)，因此，由f(a1)>f(-a27)得f(a1)>-f(a27)，亦即f(a1)+f(a27)>0，同樣:f(a2)+f(a26)>0，f(a3)+f(a25)>0…，f(a13)+f(a15)>0，以上不等式相加得:f(a1)+f(a2)+…+f(a13)+f(a15)+f(a16)+…+f(a27)>0.而f(a14)>0，則f(a1)+f(a2)+…+f(a13)+f(a14)+f(a15)+f(a16)+…+f(a27)>0，這與題設f(a1)+f(a2)+…+f(a13)+f(a14)+f(a15)+f(a16)+…+f(a27)=0相矛盾，從而f(a14)>0不成立. 同理，可以證明:f(a14)<0不成立.因此，f(a14)=0.

二、試題來源

本題設計巧妙，構思新穎.其實，它就是如下兩個常見的基本問題組合而成.

1. 設f(x)是定義在(-∞，+∞)上的奇函數，且在(0，+∞)上為增函數，則a+b>0的充要條件是f(a)+f(b)>0;a+b=0的充要條件是f(a)+f(b)=0;a+b>0的充要條件是f(a)+f(b)>0.

2. 等差數列{an｝的基本性質:a1+a2n-1=a2+a2n-2=…=an+1an-1=2an.

由以上兩個基本命題，通過構造函數f(x)=sinx+tanx，構造等差數列{an｝滿足an∈(-，)，且公差d≠0，即得到2009年上海高考數學理科試題第12題.

同學們可以改變函數的形式以及數列的項數，能編擬出很多題目.

三、試題變式

變式1:已知函數f(x)=sinx+tanx.項數為27的等差數列{an｝滿足an∈(-，)，且公差d≠0.若f(a1)+f(a2)+…+f(a27)=0，(1)求數列{an｝的公差d的取值范圍;(2)求數列{an｝前27項的和S27.

略解:(1) 由(一)中的解答前面分析得出a14=0，則a1+13d=0，而a1∈(-，)，且d≠0，則d的取值范圍為(-，0)∪(0，).(2)數列{an｝前14項的和S14==27a14=0.

變式2:已知函數f(x)=sinx+tanx.項數為2m的等差數列{an｝滿足an∈(-，)，且公差d≠0.若f(a1)+f(a2)+…+f(a2m)=0，(1)求f()的值;(2)是否存在正整數k，使得f(ak)=0.

略解:(1)仿(一)中證明可證:a1+a2m=0，因此f()=f()=0.

(2)不存在.如果存在正整數k，使得f(ak)=0，則ak=0，由ak=0，a1+a2m=0，知a1+(k-1)d=0，2a1+(2m-1)d=0，消去a1，得(2k-2m-1)d=0，而d≠0，則2k-2m-1=0，即2k-2m=0，此等式左邊為偶數，右邊為奇數，顯然等式不成立，即不存在正整數k，使得f(ak)=0.

變式3:已知函數f(x)=sinx+tanx.項數為m的等差數列{an｝滿足an∈(-，)，且公差d≠0.若f(a1)+f(a2)+…+f(am)=0，(1)求f()的值;(2)是否存在正整數，使得f(ak)=0.

略解:(1)若m為偶數，則為變式2，f()=0;若m為奇數，則仿變式1，求得f()=f(a)=0.

(2)若m為偶數，則為變式2，不存在正整數k，使得f(ak)=0;若m為奇數，則存在正整數

k=，使得f(ak)=0.責任編校 徐國堅