探尋雙曲線證明題的本質(zhì)

例題:已知雙曲線x2-=1與點Q(1，1)，證明不存在以Q為中點的弦.

點撥:同學們在課堂的學習與解題過程中，往往只是按照表面的套路進行解題，而對其題型的實質(zhì)并沒有深入的理解與掌握，造成類型題稍有變化便無所適從，或在解題中途無法繼續(xù)往下求解，或求解錯誤.如對于本例題的證明，可能就會有些同學不知從何下手，但諸如此類的題型——已知雙曲線x2-=1與點P(1，2)，過點P作直線l與雙曲線交于A、B兩點，若為中點，求直線AB的方程——同學卻很容易就能用常規(guī)方法或點差法求解得出.而實際上，本例題是上述這種類型題的變式，只是將求中點弦所在的直線方程改為了證明不存在中點弦的問題. 所以，就其本質(zhì)來說，其解題思路是一致的，因而只需對最后求解出來的結(jié)果說明不合題意即可.

思路一:假設存在以Q為中點的弦，設出過Q點的直線方程(其斜率顯然存在)，聯(lián)立直線與雙曲線的方程后得到(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0……①，設直線與雙曲線的交點坐標為A(x1，y1)、B(x2，y2)，由韋達定理得x1+x2=. 由Q是弦的中點得=2，解得k=2. 因該題是證明不存在以為Q中點的弦，所以應將k=2代入方程①，得其判別式小于零，方程①無解，所以不存在以Q為中點的弦.

思路二:涉及到弦所在的直線的斜率、弦的中點的問題還有一種求解的方法——點差法.假設存在以Q為中點的弦，設兩交點坐標分別為A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入雙曲線方程后兩式相減得到(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0，由Q點是AB中點，得x1+x2=2、y1+y2=2，將其代入可得=2，即k=2.用這種方法求解直線方程顯然比思路一所說的方法要簡單，但要說明所求解出來的直線不合題意則比思路一要困難，所以到這一步時不少同學往往無法繼續(xù)向下求解.此時應利用雙曲線特有的性質(zhì)——漸近線，由于漸近線之一的斜率為，顯然所求得的斜率k=2>，即雙曲線與所求得的直線沒有交點，所以不存在以Q為中點的弦.

分析:為什么本題能求出以Q為中點的直線的斜率，但不合題意呢?我們來對本題目進行深入探究.因為只有探索出其本質(zhì)，對于解決此類題型才能更加清晰. 思路一中的原因在于x1+x2=，如果存在以Q為中點的弦，對于方程①而言應該有兩個根.但方程①無論有沒有根，式子x1+x2=都一樣成立，因此可能會造成所求得的結(jié)果并不是實際的答案.所以一般來說，運用韋達定理所求得的結(jié)果，都應該用判別式進行檢驗. 思路二中的原因則在于，若雙曲線改為-x2=1，將A、B坐標代入后用點差法得到的是相同的結(jié)果，如圖所示.所以所求得直線到底是哪類雙曲線的中點弦所在直線的方程，須用漸近線來加以區(qū)分.

變式練習:已知雙曲線x2-=1和點P(1，1)，求證:不存在以P為中點的弦.