圓錐曲線的證明思路

例題:如圖，過(guò)拋物線y2=2px(p>0)上一定點(diǎn)P(x0，y0)(y0>0)作兩條直線分別交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2).當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求的值，并證明直線AB的斜率是非零常數(shù).

點(diǎn)撥:大多數(shù)同學(xué)容易發(fā)現(xiàn)所求，與P，A，B三點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)，于是只能聯(lián)想與三點(diǎn)相關(guān)的幾何性質(zhì)，挖掘到其中蘊(yùn)含著代數(shù)信息，即直線PA和直線PB的傾斜角互補(bǔ)得kPA=-kPB. 同學(xué)們一般會(huì)產(chǎn)生如下幾種思路:

思路一:設(shè)直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB，得kPA=和kPB= ，由kPA=-kPB得=. (思路在此時(shí)受阻)

思路二:在思路一的基礎(chǔ)上，結(jié)合y21=2px1和y20=2px0，化簡(jiǎn)得到kPA=(x1≠x0). 同理可得kPB=(x2≠x0)，由kPA=-kPB即=-，所以y1+y2=-2y0，故=-2.

設(shè)直線AB的斜率為kPA，同理可得kAB==(x1≠x2).將y1+y2=-2y0(y0>0)代入得kAB==-，所以kAB是非零常數(shù).

思路三:由y21=2px1，y20=2px0相減得(y1-y0)(y1+y0)=2p(x1-x0)，kPA==(x1≠x0)，同理可得kPB=(x2≠x0)，由kPA=-kPB，即=-，所以y1+y2=-2y0， 故=-2.

設(shè)直線AB的斜率kAB，由y22=2px2，y21=2px1，相減得(y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1)，所以kAB==(x1≠x2)，將y1+y2=-2y0(y0>0)代入，得kAB==-，所以kAB是非零常數(shù).

分析:以上三種思路都是從直線斜率的兩點(diǎn)公式入手，設(shè)出直線PA和PB的斜率，把圓錐曲線的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化成代數(shù)關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，這是解與直線有關(guān)圓錐曲線綜合題的常規(guī)思路.但思路一在運(yùn)用kPA=-kPB后導(dǎo)致運(yùn)算無(wú)法繼續(xù)，思路失敗.其原因在于忽略了圓錐曲線自身的幾何性質(zhì)，沒(méi)能成功把x用y等量代化，無(wú)法向目標(biāo)靠近.思路二體現(xiàn)的是目標(biāo)分化和化歸思維方法:由基礎(chǔ)知識(shí)入手，將題中幾何性質(zhì)蘊(yùn)涵的代數(shù)等式轉(zhuǎn)化為三條直線斜率求解.思路三則從整體角度入手，利用y21=2px1，y20=2px0兩式相減所得式中代數(shù)特征巧妙轉(zhuǎn)成幾何信息，使解題最簡(jiǎn).

啟示:此類題型的解法，要重視利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)找到解題的思路，特別是幾何中蘊(yùn)含的代數(shù)信息，如兩點(diǎn)距離、斜率等.