巧用平面向量

平面向量是高中數學新增內容，它具有代數形式和幾何形式的雙重身份，能與中學數學內容的許多主干知識相結合，形成知識交匯點.基于高考數學重視能力立意，和重視在知識交匯點上設計試題的特點，平面向量與解析幾何相互融合、相互交匯的試題便應運而生，并成為考查的主要熱點之一.這類試題往往以解析幾何為載體、以向量為工具，探討解析幾何中直線和圓錐曲線的位置關系，從而考查解析幾何中的基本的數學思想方法和綜合解題能力.

例題:如圖所示，已知A、B、C是橢圓E:+=1(a>b>0)上的三點，點A的坐標為(2，0)，BC過橢圓的中心O，且AC⊥BC，|BC|=2|AC|，.

(1)求橢圓E的方程;

(2)若橢圓E上存在兩點P、Q，使得∠PCQ的平分線總是垂直于x軸，證明與共線.

點撥:(1)此題關鍵是利用平面幾何知識求出點C的坐標.由橢圓的對稱性和條件|BC|=2|AC|、BC經過中心O(即原點)，可得|OC=|AC|.再由AC⊥BC，即可計算出C(，).而由點A的坐標可得a=2.將C點坐標代入橢圓方程得+=1， 計算出b的值，便可得到橢圓E的方程為:+=1.

(2)由條件“∠PCQ的平分線總是垂直于x軸”可得到直線PC與CQ方程的關系.即關于直線x=對稱，其斜率相反，因此在設其方程時可做到減少所設未知數.設直線PC的方程為y=k(x-)+，則直線CQ的方程為y=-k(x-)+，將直線PC與橢圓聯立可得(1+3k2)x2+6k(1-k)x+9k2-18k-3=0，利用韋達定理可得xp·=，即xp=.用同樣的方法可以得到xQ=，再將這兩個橫坐標的值分別代入所在直線方程得到其縱坐標，此時可以將用k表示出來:=(，).在計算縱坐標的值時計算量較大，注意計算過程中要細心運算，不要出錯.利用橢圓的對稱性和點C的坐標可得B(-，-)，所以=(-3，-)，計算×(-)-(-3)=0，根據向量共線的坐標表示可以得到向量與向量共線.

啟示:兩向量共線(或平行)是平面向量中的重點與難點知識.證明兩向量共線一般用向量共線定理或向量共線的坐標表示.即向量=(x1，y1)與=(x2，y2)共線的充要條件為=或x1y2-x2y1=0，先將與用坐標表示出來，然后利用其共線的充要條件即可.值得重視的是，求直線與直線CQ的方程時應該注意利用數形結合的思想.

練習:如圖，點F(a，0)(a>0)，點P在y軸上運動，點M在x軸上運動，點N為動點，且·=0，+=.

(1)求點N的軌跡C的方程;

(2)過點F(a，0)的直線l(不與x軸垂直)與曲線C交于A、B兩點，設點K(-a，0)，與的夾角為，求證:0<<.

提示:(1)用相關點法求點N的軌跡C的方程.分別設出P、M與N點的坐標，將已知向量坐標化，再由條件得到關系式，消去中間變量便可得到點N的軌跡C的方程y2=4ax.(2)利用向量的夾角公式可知，要證0<<，只要證·>0即可.

反思:既體現“形”的直觀位置特征、又具有“數”的良好運算性質的向量，是數形結合與轉換的橋梁和紐帶.而解析幾何也具有數形結合與轉換的顯著特征，所以在向量與解析幾何知識的交匯處設計試題題型，已成高考數學命題的一個新亮點.向量與解析幾何相結合的證明題，能創設較佳的問題情境，綜合性強，具有一定的數學思想深度，因此，要解決這類問題，應從整體著手進行分析處理，充分把握平面向量與解析幾何之間的內在聯系和知識綜合，巧妙運用向量方法有效化解解析幾何問題.

責任編校 徐國堅