軌跡方程突圍五法

求軌跡方程的方法多變，靈活性較大，涉及了集合、方程、平面幾何、向量等基礎知識，滲透著運動與變化、類比與聯想、方程思想、數形結合思想等，是中學解析幾何的重點和難點，也是歷年高考數學考查的一個熱點.下面結合幾個實例談談這類問題的求解策略，以供參考.

一、待定系數法

如果已知動點軌跡為某種已知曲線(如直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等)，且曲線位置基本確定，則可利用待定系數法直接設出曲線方程，再利用已知條件求出相應的待定系數即可.

例1 已知雙曲線的一條漸近線方程x-2y=0且過點P(4，3)，求雙曲線的標準方程.

分析 根據題設條件，并不知道焦點所在的坐標軸，若分兩種情況設出雙曲線方程，則解答繁瑣，而且還要舍去不符合題意的結果.但若設為x2-4y2=λ，則包含了焦點在x軸上和焦點在y軸上的兩種情況，是一個很好的選擇.

解析 ∵雙曲線的一條漸近線方程為x-2y=0，

∴可設雙曲線方程為x2-4y2=λ(λ≠0).

∵P(4，3)在雙曲線上，∴42-4×32=λ，即λ=-20.

即-=1為所求的雙曲線方程.

點評 當給出了曲線的形狀(或借助條件判斷出曲線的形狀)時，一般采取“定位、定量”的待定系數法求解.另外，可以巧用一些結論，如:當橢圓或雙曲線的焦點不確定在哪個坐標軸上時，可設方程為mx2+ny2=1;已知漸近線mx±ny=0的雙曲線方程設為m2x2-n2y2=λ(λ≠0);與-=1共漸近線的雙曲線方程可設為-=λ(λ≠0);已知等軸雙曲線，其方程可以設為x2-y2=λ(λ≠0)等.

二、定義法

如果能夠確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義(如直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等)，則可用曲線定義設出軌跡方程，再根據已知條件，求出待定方程中的常數，即可得到軌跡方程，這種方法稱為定義法.

例2 (2010屆惠州三模)已知定點A(-2，0)，動點B是圓F:(x-2)2+y2=64(F為圓心)上一點，線段AB的垂直平分線交BF于P.求動點P的軌跡方程.

分析 如圖1，∵點P在AB的垂直平分線上，∴PB=PA.又P在半徑FB上，∴PF+PB=R，即PF+PA=R，故點P到兩定點距離之和是定值，可用橢圓定義寫出點P的軌跡方程.

解析 連結AP，∵ P為AB垂直平分線上一點，

∴PB=PA，

∴PA+PF=PB+PF=8>AF=4，

∴P點軌跡為以A、F為焦點的橢圓.

設橢圓方程為+=1(a>0，b>0)，

則2a=8，a=4，c=2，故b2=a2-b2=12.

∴動點P的軌跡方程為+=1.

點評 對于動點到兩定點的距離的和差為定值時，可以考慮應用橢圓或雙曲線的定義求有關的軌跡方程，而對動點到定點和定直線的距離相等，就要用到拋物線的定義等.

三、直接法

如果動點P的運動規律是否符合我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點P滿足的等量關系易于建立，則可以先表示出點P所滿足的幾何上的等量關系，再用點P的坐標(x，y)表示該等量關系式，即可得到軌跡方程.

例3 已知定點F(1，0)，動點P(異于原點)在y軸上運動，連接PF，過點P作PM交x軸于點M，并延長MP到點N，且#8226;=0，=.求動點N的軌跡C的方程.

分析 如圖2，先設N(x，y)，再由動點所滿足的條件:#8226;=0，利用中點坐標公式將條件中的各點用坐標表示出來，進而求出軌跡方程.

解析 設動點N的坐標為N(x，y)，則M(-x，0)，P(0，)，(x>0)

∴=(-x，-)，=(1，-)，由#8226;=0，得-x+=0，

因此，動點N的軌跡C的方程為y2=4x(x>0).

點評 直接法一般遵循“四步一回頭”的步驟，四步即:(1)建立適當坐標系，設出動點P的坐標(x，y);(2)寫出點P滿足的等量關系;(3)用坐標將等量關系“翻譯”成代數方程f(x，y)=0;(4)化簡代數方程f(x，y)=0為最簡形式.一回頭:回頭看化簡方程的過程是否為同解變形，驗證求得的方程是否為所要求的方程.解決問題的關鍵是將題設條件準確的轉化為代數方程，這里的向量的坐標運算公式起到了“橋梁”作用，另外，本例也可根據幾何性質，由=結合向量模長公式(或兩點間距離公式)得到方程，這里不再贅述.

四、相關點法

如果動點P的運動是由另外某一點P′的運動引發的，而該點的運動規律已知(該點坐標滿足某已知曲線方程)，則可以設出P(x，y)，用(x，y)表示出相關點P′的坐標，然后把P′的坐標代入已知曲線方程，即可得到動點P的軌跡方程.

例4 如圖3，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程.

分析 動點Q的位置，依賴于對角線上的動點R，故可先求R的軌跡方程，再考慮用相關點法求P的軌跡方程.

解析 設AB的中點為R(x，y)，

∵R是弦AB的中點，

∴在Rt△OAR中，AR2=OA2-OR2=36-(x2+y2).

又AR=PR=，

∴(x-4)2+y2=36-(x2+y2)，

即x2+y2-4x-10=0.因此點R的軌跡是一個圓.

設Q(x，y)，R(x0，y0)，∵R是PQ的中點，

∴x0=，y0=，代入方程x2+y2-4x-10=0，得()2+()2-4()-10=0，即x2+y2=56，這就是所求頂點Q的軌跡方程.

點評 對某些較復雜的軌跡方程問題，可先確定一個較易求得的點的軌跡方程，再以此點作為主動點，所求的軌跡上的點為相關點，求得軌跡方程.本例中R的軌跡方程的確定采用了直接法.

五、參數法

在求軌跡方程時，當動點P的坐標x、y之間的關系不易直接建立時，可考慮選取一個與點P的位置有密切相關的量作為中間變量(叫參數)，以它來溝通x和y的數量關系，建立起動點軌跡的參數方程數x=f(t)，y=g(t)，(t為參數)， 然后消去參數便得到普通方程f(x，y)=0，這種方法叫參數法.其關鍵在于巧妙設參數和靈活消參數，同時要注意普通方程和前面的參數方程中的x、y取值必須一致.

例5 設點A和B為拋物線y2=4x上原點以外的兩個動點，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線.

分析 因為動點M的坐標由A、B決定，而A、B的確定依賴于直線OA和OB與拋物線的交點.因為OA⊥OB，不妨假設其中一條直線的斜率k(如直線OA)，將動點的坐標x、y用k表示出來，然后再消掉k，從而就建立了關于x、y的關系.

解析 設OA的方程為y=kx，則OB的方程為y=-x.

由y=kx，y2=4x，得x1=0，y1=0或x2=，y2=，得出A(，).同理，得出B(4k2，-4k).

所以直線AB的方程為y+4k=(x-4k2).

即y=-(x-4)…… ①.直線OM的方程為y=x …… ②.

動點M的坐標(x，y)滿足①②，由①×②得y2=x(4-x).

所以動點M的軌跡方程為(x-2)2+y2=4(x≠0)，表示以(2，0)為圓心，2為半徑的圓，去掉原點.

點評 當動點的位置明顯地由某個因素決定時，可以選用參數法.用參數法求軌跡方程要注意合理選擇參數，作參數的量通常是直線斜率、動點的坐標、角度等.

結合以上給出的求軌跡方程的常用方法，在復習軌跡問題時，我們要引起高度的重視.

1. 高考方向要把握.

高考考查軌跡問題通常以簡單題、中檔題形式出現，以定義法、相關點法、待定系數法等為主，屬于拿分題.特別在解答題中，往往出現在第一問中，起到承上啟下的作用，近年越來越受到命題老師青睞.如果不能快速準確地求解其方程，將直接影響到對下一問題的理解和解答.因此，對于常見的軌跡方程的題型和方法，我們要做到成竹于胸.

2.“軌跡” “方程”要區分.

求軌跡方程，求得方程就可以了;若是求軌跡，求得方程還不夠，還應指出方程所表示的曲線類型.

3. 抓住特點選方法.

在處理軌跡問題時一定要善于根據題目的特點選擇恰當的方法.在求動點軌跡方程的過程中，一是尋找與動點坐標有關的方程(等量關系)，側重于數的運算;一是尋找與動點有關的幾何條件，側重于形，重視圖形幾何性質的運用.

4. 認真細致定范圍.

確定軌跡的范圍是處理軌跡問題的難點，也是容易出現錯誤的地方，在確定軌跡范圍時，應注意以下幾個方面:①準確理解題意，挖掘隱含條件;②列式不改變題意，并且要全面考慮各種情形;③推理要嚴密，方程化簡要等價;④消參時要保持范圍的等價性;⑤數形結合，查“漏”補“缺”.

5. 平幾知識“用當先”.

在處理軌跡問題時，要特別注意運用平面幾何知識，其作用主要有:①題中沒有給出明顯的條件式時，可幫助列式;②簡化條件式;③轉化與化歸.

6. 向量工具“用自如”.

向量是數形轉化的紐帶，向量與解析幾何之間有著密切聯系，大量的軌跡問題都是以向量作為背景編擬的.在復習時應加強公式的記憶和性質的運用，熟練掌握并能運用自如.

責任編校 徐國堅