從一道三角題看分類討論的“三步曲”

題目:設a為實常數，求函數y=cos2x-asinx+1的最小值g(a).

思路:轉化為關于sinx的二次函數問題，注意對待定字母a的分類討論.

解析:y=cos2x-asinx+1=1-sin2x-asinx+1=-(sinx+)2+2+.

令sinx=t，則y=-(t+)2+2+，其中-1≤t≤1. 由于拋物線的對稱軸是t=-，所以要對字母a進行分類討論.

(1)當-<-1，即a>2時，在t=1時，y取最小值-(1+)2+2+=1-a.

(2)當-1≤-<1，即-2

若-1≤-<0，即0≤a<2時，因為-1+<1+，所以在t=1時，y取最小值1-a.

若0≤-<1，即-2

(3)當-≥1，即a≤-2時，在t=-1時，y取最小值-(-1+)2+2+=1+a.

綜上可知，g(a)=1-a，a > 01+a. a≤0

理解和掌握分類討論的“三步曲”，能減少錯誤，提高解題的正確率.

由上可見，分類討論有“三步曲”:一是選擇分類對象，即對哪個字母進行分類(本題是字母a);二是確定分類標準，即怎樣分類(這里以對稱軸t=-與區間[-1，1]的位置關系為標準，對稱軸t=-在區間[-1，1]左邊、在區間[-1，1]內、在區間[-1，1]右邊);三是深化分類層次(這里在第二類對稱軸t=-在區間[-1，1]內的情況下，還要兼顧二次函數圖像的位置，又分成兩類，是二級分類).

很多含有待定字母常數的數學問題，往往需要對待定字母進行分類討論. 不少同學雖然知道分類的對象，但不會確定分類標準，更沒注意到分類的層次，常常失分，這要引起大家足夠的重視.

練習:設a∈R，解關于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.

(答案: 當a<0時， 不等式的解集是-∞，1，+∞;當a=0時，不等式的解集是1，+∞;當01時， 不等式的解集是，1.)

責任編校徐國堅