直擊一類含參函數(shù)的單調(diào)性問題

在高考中，含參函數(shù)的單調(diào)性問題，是一類頻繁出現(xiàn)的熱點問題，這類問題，從知識點上看，主要考查了函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系;從數(shù)學(xué)方法上看，主要考查分類討論思想.下文舉例加以說明.

例題 討論函數(shù)f(x)=(-1

點撥 利用導(dǎo)數(shù)可以研究函數(shù)的單調(diào)性，一般應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)數(shù)f ′(x)，通過判斷函數(shù)定義域被導(dǎo)數(shù)為零的點所劃分的各區(qū)間內(nèi)f ′(x)的符號，來確定函數(shù)f ′(x)在該區(qū)間上的單調(diào)性.當(dāng)給定函數(shù)含有字母參數(shù)時，分類討論難于避免，不同的化歸方法和運(yùn)算程序往往使分類方法不同，應(yīng)注意分類討論的準(zhǔn)確性.在本例中f ′(x)=-參數(shù)b對其大小有著直接影響，故對b進(jìn)行分類討論，同時注意到函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，故只需討論函數(shù)在(0，1)上的單調(diào)性.

答案 當(dāng)b>0時，函數(shù)f(x)在(-1，1)上是減函數(shù)，當(dāng)b<0時，函數(shù)f(x)在(-1，1)上是增函數(shù).

提示 含參函數(shù)的單調(diào)性問題往往可以通過求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化為不等式的解集問題，因為含有參數(shù)，不等式的解集不確定，故必須分類討論.

變式練習(xí) 已知函數(shù)f(x)=1nx-ax(aR)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

答案 定義域為{x|x>0}，f ′(x)=-a=.

當(dāng)a≤0時，f ′(x)>0;函數(shù)f (x)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，所以f (x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，+∞);當(dāng)a>0時，若00;若x>，則f ′(x)<0，所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，)，單調(diào)減區(qū)間為(，+∞).

責(zé)任編校徐國堅