遠離分類討論有絕招

“分類討論”既是一種重要的數學思想方法，也是一種重要的解題策略，在數學解題中有其廣泛的應用，但由于分類討論一般過程較為冗長、繁瑣，且極易在完備性上造成失誤，因此，可能的情況下，應盡量避免討論，以便簡化解題過程，達到簡捷解題的目的，那么避免分類討論有哪些招數呢?

一、參數分離

在含參數的方程或不等式中，若能通過適當變形，使方程或不等式一端只含參數的解析式，而另一端為與參數無關的主變元函數，則函數關系由隱變顯，從而只需求主變元函數的值域或上、下限.

例1 對∈R不等式cos2-3>2mcos-4m恒成立，求實數m的取值范圍.

點撥 原不等式化為cos2-2>m(cos-2)，本題若化為(cos-)2-+2m-2>0，則需以是否在[-1，1]內為標準分三種情況討論，但我們可以換一個角度看問題，本題顯然可以由條件等價轉化為不等式m>=2+cos-=4-[(2-cos)+]，因為(2-cos)+≥2(注意等號可以成立). 所以 4-[(2-cos)+]的最大值為4-2，所以當關于的不等式 cos2-3>2m cos-4m恒成立時，實數m大于的最大值4-2.

答案 (4-2，+∞).

提示 將參數與變量分離，構造以討論對象為變量的函數，利用函數思想可避開分類討論.

類題練習 已知函數f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是減函數，求a的取值范圍.

答案 求函數f(x)的導數，得f ′(x)=3ax2+6x-1.

當f ′(x)≤0(x∈R)，即3ax2+6x-1≤0(x∈R)時，f (x)是減函數.

當x=0時，不等式顯然成立，否則有3a≤()2-=(-3)2-9恒成立.

故只需3a≤-9a≤-3，即所求a的取值范圍是(-∞，-3].

二、數形結合

利用函數圖像、幾何圖形的直觀性能巧妙地將數量關系與空間圖形有機地結合起來，有時也可以回避問題的討論.

例2對于函數f(x)=x2+ax-a+1，存在x0∈[0，1]，使f(x0)<0，求a的取值范圍是_________.

點撥 含參數的二次函數在指定區間上的函數值問題，一般先配方，然后就其圖象對稱軸在區間內、區間左側、區間右側分類討論. 如果改變一下視角，巧妙變形，借助數形結合就可避開分類討論. 本例中，由x∈[0，1]時，f(x)<0，得x2+1<-a(x-1). 令y1=x2+1，y2=-a(x-1).作函數y1與y2的圖像，在x∈[0，1]時，y2過點(0，1)及(1，2)時為極限位置，由圖像知其直線y2的斜率滿足-a<-1，即a>1.

答案 (1，+∞).

提示 利用函數圖像的直觀性，通過數形結合可簡化和避開分類討論，但圖形必須可作，而且必須盡可能精確，圖形誤差太大往往會導致錯誤.

類題練習 已知集合A={x|lg(x2-2ax+a2+1)

B={x|(x-a)(x-2)>0}，若A∪B=R，求a的范圍.

答案 由A={x|lg(x2-2ax+a2+1)

解得A=(a-1，a+1). 令f(x)=(x-a)(x-2)>0，如圖，不論y=f(x)的D>0，D=0，D<0 . 由A∪B=Rf(a+1)>0，f(a-1)>01

責任編校 徐國堅