用列舉法解含有循環結構的程序框圖

在算法中，程序框圖有三種基本邏輯結構:順序結構、條件結構和循環結構.其中循環結構是三種基本邏輯結構中最重要的一種結構，在07～09年的廣東高考試題中，對算法內容的考查均以含有循環結構的程序框圖來命題.解決含有循環結構的程序框圖問題，建議同學們學會利用列舉法，通過列舉出各個變量在進入循環體后的值，觀察和歸納出變量在退出循環時應輸出的值，進而得到問題答案.

一、列舉法介紹

例1 如果執行圖1的程序框圖，那么輸出的s的值為_________.

解析 列舉式子如下:

k=1，s=0表示未進入循環體時各個變量初始值.

1. s=0-2×1=-2，k=0;表示第1次進入循環體后變量值;

2. s=2-2×0=-2，k=-1;表示第2次進入循環體后變量值;

3. s=2-2×(-1)=0，k=-2;表示第3次進入循環體后變量值;

4. s=0-2×(-2)=4，k=-3;表示第4次進入循環體后變量值;

5. s=4-2×(-3)=10，k=-4;表示第5次進入循環體后變量值.

因為k=-4<-3，所以輸出s=10.

評注 因為判斷框的條件k≥-3，而變量k值從1開始，每進入一次循環，k值便減1，因此可以通過全部列舉把每一次循環對應的變量值列舉出來，進而利用判斷框的條件，輸出s的值應為10.

二、列舉時應注意的三個問題

注意問題1:列舉時，循環體內的各個執行框不能調換先后次序.

如果在列舉時，我們把 s= s-2 k與k=k-1調換次序，先執行k=k-1，再執行 s= s-2k.

列舉式子如下:

k=1，s=0

1. k=-1，s=0-2×(-1)=2;

2. k=-2，s=2-2×(-2)=6;

3. k=-3，s=6-2×(-3)=12;

4. k=-4，s=12-2×(-4)=20.

因為k=-4<-3，所以輸出s=20. 與例1答案不符.因此不能隨意調換執行的次序.

注意問題2:列舉時，如果列舉次數過多，可以采用局部列舉，尋求規律，進而歸納出結果.

例2 把圖1判斷框的條件“k=≥-3”改為“k=≥-30”，如圖2所示，那么輸出的s的值為___________.

方法一 利用變量值的變化構造數列{an}，使得a1=-2，a2=-2，a3=0，a4=4，a5=10，…，問題轉化為求a32的值.易知，數列{an}既不是等差數列，也不是等比數列，但相鄰兩項做差所成數列是以0為首項，2為公差的等差數列.因此可利用疊加法求a32的值.

因為a2-a1=0=2×0

a3-a2=2=2×1

a4-a3=4=2×2

…………

a32-a31=2×30

疊加可得，a32-a1=[2(0+1+2…+30)]，

解得a32=30×31-2=928，所以輸出s=928.

方法二 觀察變量值s的變化規律可知，

4=1×4，10=2×5，16=3×6…，所以式子可列舉為:

k=1，s=0

1. s=0-2×1=-2， k=0

2. s=-2-2×0=-2， k=-1

3. s=-2-2×(-1)=0， k=-2

4. s=0-2×(-2)=4=1×4， k=-3

5. s=4-2×(-3)=10=2×5， k=-4

… …

32. s=29×32=928，k=-31

因為k=-31<-30，所以輸出s=29×32=928. 所以輸出s=928.

評注 由例2我們可以得知，變量k在退出循環時，k值應為-31，在列舉時應列舉32次才能輸出變量s的值. 32次的列舉，在操作上費時，計算量大，因此可借助變量s值的變化規律進行解決. 例如通過前面6次的列舉，可歸納出第32次變量s=29×32.利用列舉可以把抽象、復雜、繁瑣的循環思想直觀具體化，通過觀察每一次循環后變量數值的變化規律，從而準確求得輸出值，起到“化繁為簡”的效果.

注意問題3:列舉時，應注意判斷框中條件的判斷.

例3 按如圖所示的程序框圖運算. 若輸出k=2，則輸入x的取值范圍是______.

錯解 列舉式子如下:

x=m，k=0

1. x=10m+8，k=1;

2. x=10(10m+8)+8=100m+88，k=2;

因為輸出k=2，所以x=100m+88>2008，解得m>19.2，

所以輸入x的取值范圍是(19.2，+∞).

錯因分析 因為輸出k=2，不是輸出k=1，所以，變量x的值除了要滿足x=100m+88>2008之外，還應滿足x=10m+88≤2008，解得19.2

練習 一個算法的程序框圖如圖4所示，

(1)若該程序輸出的結果為，則判斷框中的n值為_________;

(2)若判斷框中的n值為2009，則該程序輸出的結果為_________.

答案 (1)4;(2).

對于含有循環結構的程序框圖，一方面，同學們要理解好循環結構思想，熟練運用“列舉法”，把抽象復雜的循環問題，轉化成直觀具體的數列問題;另一方面，同學們可以通過近三年的高考題和模擬試題，借助“列舉法”，對含有循環結構的程序框圖進行定量訓練，化繁為簡，力求在高考中準確得分.

責任編校 徐國堅