巧代特殊角,速解三角函數

三角函數是中學學習的重點內容和主干知識，多年來高考均考小題和解答題.考查通過利用三角恒等變形討論三角函數性質等問題，在客觀題的解答中，有些題只需簡單變形，有些題需要較多的步驟.由于事物的普遍性總是包含在特殊性之中，所以我們可以運用特殊角代入檢驗函數一般性質，從而避免復雜的恒等變形，對那些公式不熟練的同學尤為有利，下面舉例說明:

例1 (2010屆北京東城區高三測試) 函數y=1-2sin2(x-)是()

A. 最小正周期π為的偶函數

B. 最小正周期π為的奇函數

C. 最小正周期為的偶函數

D. 最小正周期為的奇函數

解析 根據奇偶性的定義，取x=±，f(±)=±1，即知是奇函數;周期性判斷，先驗證是否是周期，只要取x=和x=+，f()=1，f(+)=-1，所以不是周期，最小正周期是π，答案是B.

反思 本題是09年廣東文科題的變式(見后面“變式訓練”)，考查三角函數的恒等變形和性質，而運用特殊角檢驗，避免了作恒等變形;檢驗的方法是:①奇偶性，用兩個相反的角;②周期性，用周期加上一個角.

特別注意:最容易把周期搞錯.有些同學從式子y=1-2sin2(x-)，就誤以為周期是2π，忽視了是平方;在檢驗周期的時候，如果先檢驗π，也是錯誤的，應當先檢驗較小的角，如先檢驗較大角是周期，則不能判斷是不是最小的周期.(注意:此法不能用作求周期)

例2 (2010屆上海高三聯考)已知函數f(x)=asinx-bcosx(a，b為常數，a≠0，x∈R)的圖像關于直線x=對稱，則函數y=f(-x)是( )

A. 偶函數且它的圖像關于點(π，0)對稱

B. 偶函數且它的圖像關于點(，0)對稱

C. 奇函數且它的圖像關于點(，0)對稱

D. 奇函數且它的圖像關于點(π，0)對稱

解析 圖像關于x=對稱，故取x=0，x=，f(0)= f()，得到-b=a，在此結論下檢驗y=f(-x)的奇偶性和對稱性:①奇偶性，只要取x=±，則f(+)=b，f(-)=a=-b，是奇函數;②對稱性，取關于x=π對稱的兩個角x=，x=， f(-)=a，f(-)=-a.故關于(π，0)對稱，故選D.

反思 不理會y=f(-x)的解析式，直接用特殊角檢驗即可，這就是用特殊角解題的妙處!反之代入:y= f(-x)=asin(π-x)-bcos(π-x)，則需進行較復雜恒等變形，費時費力.對于分秒必爭的考場來說，用特殊值檢驗當然是上策.

很多同學會把檢驗點的對稱與軸的對稱混淆，要注意二者的區別:關于點對稱，是函數值為0，檢驗時可根據周期在取兩個對稱的特殊角檢驗，但時所取的角要便于計算;關于軸對稱，對稱軸要通過函數值最小或最大值的地方，即圖像頂點，檢驗方法簡單得多，只要檢驗函數在與對稱軸的交點是否為最值即可.

小結:解三角函數問題，常見的錯誤就是公式記憶不牢導致恒等變形錯誤.運用特殊角解三角函數就能避免了犯這個錯誤，快捷準確.對基礎比較差的同學更加有利，關鍵是選擇合適的特殊角，便于分析計算.

變式訓練題

1. (2009廣東文)函數y=2cos2(x-)-1是()

A. 最小正周期為π的奇函數

B. 最小正周期為π的偶函數

C. 最小正周期為的奇函數

D. 最小正周期為的偶函數

2. (2010廣州高三調研理)已知函數f(x)=sin(3x+)(x∈R)給出如下結論:

①函數f(x)的最小正周期為

②函數f(x)是奇函數;

③函數f(x)的圖像關于點(，0)對稱;

④函數f(x)在區間[0，]上是減函數.

其中正確的序號是.(寫出所有正確的序號)

3. (山東師大附中2010屆第二次模擬)設f(x)=sin2x-2sin2xsin2x(x∈R)，則函數y= f(x)是( )

A. 最小正周期是π的偶函數

B. 最小正周期是π的奇函數

C. 最小正周期是2π的偶函數

D. 最小正周期是的奇函數

答案 1. A; 2. ①④; 3. D.

責任編校 徐國堅