分類討論PK解析幾何含參問題

在解析幾何中，曲線方程常常帶有參數，它的不同取值對應不同的曲線或者曲線的變化過程，而曲線與曲線的位置關系也會因參數的不同發生相應的改變.解決這類問題，分類討論是不可或缺的方法.下文舉例說明.

例1 已知圓M:x2+(y-2)2=1，設點B，C是直線l:x-2y=0上的兩點，它們的橫坐標分別是t，t+4，點P在線段BC上，過點P作圓M的切線PA，切點為A.經過A，P，M三點的圓的圓心為D，當t變化時，求線段DO長的最小值.

點撥 設P(s，)，t≤s≤t+4，∵AP為切線，則AM⊥AP，∴△AMP為直角三角形，∴過A，P，M三點的圓的圓心為D即為斜邊PM的中點，D(，).OD==，配方有OD=，其中t≤s≤t+4.又BC是直線上變化的線段，點P(-，-)不一定在線段BC上;而從OD表達式上看，何處取最小值取決于-與區間[t，t+4]的關系.無論是前者或后者，都有三種情況，故分類討論成為必然.

答案 ODmin=，t≤-，-

提示 解析幾何中的含參討論問題一般有兩種類型:最值問題和軌跡方程問題，本類屬于前者，最終化為函數的最值問題，而后者往往是對軌跡類型的討論.

類題練習 設F1，F2分別是橢圓C:+=1(m>0)的左，右焦點， P∈C，且#8226;=0，||#8226;||=4，⊙F2的半徑是1，過動點Q的作⊙F2切線QM，使得QF1=QM(M是切點).求動點Q的軌跡方程.

答案 ∵c2=a2-b2，∴c2=4m2. 又∵#8226;=0，∴PF1⊥PF2，∴ PF12+PF22=(2c)2=16m2.由橢圓定義可知PF1+PF2=2a=2m，(PF1+PF2)2=PF12+PF22+2PF1#8226;PF2=16m2+8=24m2 ，從而得m2=1，c2=4m2=4，c=2. ∴F1(-2，0)、F2(2，0).由已知QF1=QM，即QF12=λOM2，所以QF12=λ(QF22-1)，設P(x，y)，則(x+2)2+y2=λ[(x-2)2+y2-1]，即(1-λ)x2+(1-λ)y2+(4+4λ)x+4-3λ=0.

(1) 若λ=1，則動點Q的軌跡為直線x=-;

(2) 若λ>0且λ≠0，則(1-λ)x2+(1-λ)y2+(4+4λ)x+4-3λ=0可化為( x+)2+y2=，注意到3λ3-6λ2+19λ=3λ(λ-1)2+16λ>0，∴Q的軌跡是以(-，0)為圓心，以為半徑的圓.

責任編校 徐國堅