投資組合VaR分解的應(yīng)用研究

摘要:針對VaR的不足，Garman M.于1997年提出了成分VaR和邊際VaR。采用德爾塔——正態(tài)法度量投資組合的VaR、邊際VaR和成分VaR，使用假設(shè)檢驗法對模型進(jìn)行回測的研究結(jié)果表明，該計算方法下的VaR模型有效，邊際VaR和成分VaR能為資產(chǎn)管理者提供更多有關(guān)投資組合風(fēng)險的信息。

關(guān)鍵詞:德爾塔——正態(tài)法;邊際VaR;成分VaR;假設(shè)檢驗法

中圖分類號:F830.59 文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A 文章編號:1673-291X(2010)05-0098-04

現(xiàn)代投資組合風(fēng)險管理高度依賴于定量技術(shù)來描述金融市場的行為。風(fēng)險管理者一方面通過20世紀(jì)70年代發(fā)展起來的金融衍生品進(jìn)行了許多風(fēng)險管理的創(chuàng)新，另一方面創(chuàng)立了許多用于識別和量化風(fēng)險的高級風(fēng)險管理模型。在歐美等發(fā)達(dá)國家證券市場，對投資組合的風(fēng)險管理是投資基金等機構(gòu)投資者風(fēng)險控制的核心，其主要思想是:利用風(fēng)險量化技術(shù)來識別風(fēng)險因子，計算未來的風(fēng)險值，然后通過各種方法對風(fēng)險值進(jìn)行管理。經(jīng)過幾十年的發(fā)展，投資組合風(fēng)險管理的理論與方法已相當(dāng)成熟，主要包括三種思路:一是Markowitz資產(chǎn)組合理論框架下的投資組合風(fēng)險管理，二是建立在Black-Scholes模型上的衍生工具風(fēng)險管理理論，三是VaR風(fēng)險管理理論。

國內(nèi)外許多學(xué)者關(guān)于VaR的研究，風(fēng)險管理投資組合主要聚焦于投資組合風(fēng)險價值(VaR)的估計，較少關(guān)注投資組合VaR的變量;國內(nèi)學(xué)者的研究，也僅有極少數(shù)涉及到VaR的分解問題。然而，對于機構(gòu)投資者來說，在日常交易和資產(chǎn)管理過程中，除把握資產(chǎn)組合整體市場風(fēng)險外，了解投資組合中各資產(chǎn)的VaR的大小、變動某一資產(chǎn)權(quán)重對投資組合的VaR將產(chǎn)生怎樣的影響，具有重要的價值。因此，本文重點研究投資組合的成分VaR和邊際VaR。

一、VaR的分解

VaR(Value at Risk)即風(fēng)險價值，是一種度量和管理風(fēng)險的工具，最早由J·P·Morgan銀行針對市場風(fēng)險計量技術(shù)的不足而提出，該模型提出后迅速在投資機構(gòu)中得到了廣泛應(yīng)用。VaR作為一個統(tǒng)計概念，本身不過是個數(shù)字，在《風(fēng)險價值VaR》一書中，菲利普·喬瑞定義VaR為:在一定的置信水平下和一定的目標(biāo)期間內(nèi)，預(yù)期的最大損失。公式表示為(1.1)，其中ΔP為某一金融資產(chǎn)在一定持有期的價值損失額，VaR為置信水平α下可能的損失上限。

Prob(ΔP

可以使管理層以非常清楚的方式，向股東傳達(dá)公司面臨的風(fēng)險，使投資者有效地配置資源，因此，金融機構(gòu)使用VaR方法可以有效地進(jìn)行風(fēng)險管理。但是，當(dāng)需要了解某一投資組合中各資產(chǎn)的VaR大小，以及變動某一資產(chǎn)權(quán)重對投資組合整體的VaR將產(chǎn)生怎樣的影響時，單純的VaR無法提供充分的信息。當(dāng)投資組合的VaR值異常高時，如何通過調(diào)整投資組合的頭寸來減輕投資組合的風(fēng)險?什么頭寸組成了最大的風(fēng)險因子?什么頭寸能對沖風(fēng)險?這些僅僅利用VaR是無法了解和掌握的。為了滿足資產(chǎn)管理者的這類需求，Garman M(1997)提出了成分VaR和邊際VaR。

1.邊際VaR——ΔVaRi

邊際VaR用于衡量投資組合中某項資產(chǎn)的變化對投資組合VaR的影響，是組合中某項資產(chǎn)增加一單位時引起的投資組合VaR的變化值。記第i項資產(chǎn)在投資組合中的權(quán)重為xi，邊際VaR為ΔVaR，則有(1.2)。邊際 VaR(ΔVaRi)刻畫了各項資產(chǎn)對投資組合VaR的邊際貢獻(xiàn)，反映組合資產(chǎn)頭寸變化的靈敏度，為交易管理者決策下一筆資金投資于何種資產(chǎn)以獲得更好的收益提供了有效的信息。

ΔVaRi=(1.2)

2.成分VaR——CVaR

成分VaR是投資組合中某項資產(chǎn)被剔除而導(dǎo)致的投資組合VaR變化量(式1.3)，刻畫組合中單項資產(chǎn)對投資組合 的總貢獻(xiàn)，反映組合中具有較大風(fēng)險的資產(chǎn)頭寸和較大對沖作用的資產(chǎn)頭寸。對投資組合中的某項資產(chǎn)而言:其CVaR<0時，可以對沖組合其余部分的風(fēng)險;CVaR>0時增加組合的風(fēng)險，如果把它從組合中剔除，組合的VaR值將減少;CVaR=0時對組合的風(fēng)險沒有貢獻(xiàn)，剔除它組合的CVaR將不會改變。

VaR≡∑CVaRi(1.3)

二、邊際VaR與成分VaR的德爾塔——正態(tài)法度量

傳統(tǒng)的VaR計算方法主要有三種，即德爾塔——正態(tài)法、歷史模擬法和蒙特卡羅模擬法。德爾塔——正態(tài)法假定組合回報服從正態(tài)分布，利用正態(tài)分布的良好特性——置信度與分位數(shù)的對應(yīng)性計算的組合的VaR等于組合收益率的標(biāo)準(zhǔn)差與相應(yīng)置信度下分位數(shù)的乘積。歷史模擬法的核心在于根據(jù)市場因子的歷史樣本變化，模擬證券組合的未來損益分布，利用分位數(shù)給出一定置信度下的VaR估計。蒙特卡羅模擬法則假設(shè)資產(chǎn)價格的變動依附于服從某種隨機過程的形態(tài)，利用電腦模擬，在目標(biāo)時間范圍內(nèi)產(chǎn)生隨機價格的途徑，依次構(gòu)建資產(chǎn)報酬分布，進(jìn)而計算VaR。三種方法中，歷史模擬法和蒙特卡羅模擬法適用于投資組合中含期權(quán)類工具的風(fēng)險度量，而德爾塔——正態(tài)法計算簡單，適用于投資組合中不含期權(quán)類工具的風(fēng)險度量。

針對中國證券市場沒有期權(quán)的現(xiàn)狀，本文選擇德爾塔——正態(tài)法進(jìn)行投資組合的風(fēng)險度量。邊際VaR和成分VaR的估計，可以分投資組合收益率服從多元正態(tài)分布和不服從正態(tài)分布兩種情況進(jìn)行分析，而德爾塔——正態(tài)法假定投資組合收益率服從多元正態(tài)分布，因此，可以直接從正態(tài)分布的情況進(jìn)行分析。

1.VaR

本文主要研究不含期權(quán)類資產(chǎn)的投資組合，而德爾塔——正態(tài)法對于期權(quán)不占主導(dǎo)地位的投資組合是一個快捷而有效的VaR衡量方法。該方法假設(shè)收益率服從為正態(tài)分布，且與基本風(fēng)險因素呈線性關(guān)系，利用基本公式可得到VaR(式2.1)。其中，ω為資產(chǎn)組合的初始價值;μ為期望收益的數(shù)學(xué)期望;σ為期望收益的標(biāo)準(zhǔn)差;c為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)。

VaR=-ω(μ+cσ-μ)=-cσω(2.1)

2.邊際VaR

當(dāng)資產(chǎn)組合收益率服從正態(tài)分布時，邊際VaR的計算公式為(2.2)。其中，式中，ΔVaRi為第i種資產(chǎn)的邊際VaR，σp為投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差，Coν(Ri，Rp)為投資組合收益率與第i種資產(chǎn)收益率的協(xié)方差，α為給定置信水平，c1-α表示1-α對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位數(shù)。

ΔVaRi=c1-α×(2.2)

3.成分VaR

德爾塔——正態(tài)法情況下，當(dāng)組合收益率服從正態(tài)分布時，成分VaR的計算公式為(2.3)。其中，CVaRi為第i項資產(chǎn)的成分VaR，rω表示第i項資產(chǎn)在投資組合資產(chǎn)中所占比例，ωi表示投資組合中第i項資產(chǎn)的價值。

CVaRi=ΔVaRi×rω×ωi(2.3)

式(2.3)表明，組合中各資產(chǎn)的成分VaR相加等于投資組合的VaR。因此，第i項資產(chǎn)對投資組合的風(fēng)險貢獻(xiàn)率為CVaRi /VaR。

4.VaR的調(diào)整

采用德爾塔——正態(tài)法度量VaR的假設(shè)，是組合收益率服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。然而，多數(shù)金融數(shù)據(jù)存在較明顯的“尖峰厚尾”現(xiàn)象，當(dāng)組合收益率分布的峰度系數(shù)較高時，德爾塔——正態(tài)法計算的VaR會產(chǎn)生較大誤差。因此計算VaR之前，要對組合收益率的分布進(jìn)行檢驗:若為正態(tài)分布，則直接使用(2.1)、(2.2)和(2.3)計算該組合的VaR;若非正態(tài)分布，則計算VaR 時應(yīng)進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整。調(diào)整后的組合VaR、ΔVaRi和CVaRi計算公式為:

VaR=-αθσω(2.4)

ΔVaRi=c1-α×θ×(2.5)

CVaRi=ΔVaRi×rω×ω(2.6)

其中，θ=1+ψ1n(k/3)，k是資產(chǎn)組合收益分布的峰度，ψ是與概率值相關(guān)的常數(shù)(對99%置信度，ψ=0.4)。θ反映投資組合收益率分布峰度，由Bangia、Diebold、Schuermann、Stroughair等人在1999年提出，主要用于處理金融數(shù)據(jù)的“尖峰厚尾”問題。若分布是正態(tài)分布，則k=3，θ=1模型不需要調(diào)整;否則需重新計算θ，相應(yīng)地調(diào)整模型。

三、VaR精確性的檢驗方法

只有能準(zhǔn)確預(yù)測風(fēng)險的VaR模型才是有效的，因此，建立模型之后需要對其精確度進(jìn)行檢驗，回測技術(shù)正是驗證VaR模型精確度的一類方法的統(tǒng)稱。Jorion(2005)將回測定義為:回測是用來檢測實際損失與預(yù)期損失是否一致的有效統(tǒng)計方法，包括把VaR的歷史預(yù)測與相關(guān)的組合收益率進(jìn)行系統(tǒng)的比較。回測技術(shù)可以檢驗VaR模型的精確度，能發(fā)現(xiàn)建模中存在的問題和導(dǎo)致檢驗失敗的原因，為VaR模型的改進(jìn)提供一些方法。迄今為止有三類回測方法。

1.指標(biāo)評價法

Hendricks(1996)選取12種VaR計算方法，對每種方法計算電腦隨機組合的1000個資產(chǎn)組合的VaR值;然后構(gòu)建10個指標(biāo)來比較各種VaR方法的差異。之后，Engel(1999)、Sinha et al(2000)、Bredin et al(2002)等根據(jù)不同需要建立評價指標(biāo)，對各類VaR進(jìn)行評價。但是，指標(biāo)評價法是在模型準(zhǔn)確的條件下，根據(jù)設(shè)計指標(biāo)工具更全面的觀察和比較各個VaR模型的特點和效率，不適合單個模型精確性的評價。

2.比較評價法

比較評價法以Lopez(1998，1999)為代表。他提出根據(jù)管理者的偏好來構(gòu)建損失函數(shù)，根據(jù)損失函數(shù)的大小排序，借此評價VaR模型:將管理者的某些具體要求定義成某些數(shù)值或函數(shù)，然后將VaR估計值依據(jù)這些要求進(jìn)行分配或處理。這種方法提供了一種相對的評估方法來對VaR估計值進(jìn)行比較，但放棄了統(tǒng)計檢驗的諸多優(yōu)勢，不適合于單個VaR模型的檢驗與評價。

3.假設(shè)檢驗法

該方法主要通過假設(shè)檢驗的方式，來接受或拒絕一個VaR模型。自從Kupiec(1995)提出經(jīng)典的Kupiec檢驗之后，以這種方式來評價VaR模型的研究文獻(xiàn)最多。

既然VaR建立在特定置信水平之上，那么一種最直觀的聯(lián)想就是，在某些情形下數(shù)值會落到圖形之外。因此，檢驗VaR模型的一種最簡單方法是考察失效率，即在給定樣本中 被超越的次數(shù)。給定一個T天的VaR圖形，定義N為例外情況的數(shù)目，則N/T為失效率。對于給定的置信水平α，失效率應(yīng)為1-α的無偏測量(即當(dāng)樣本量增大時失效率逐漸趨向于 (1-α)，且例外的個數(shù)應(yīng)服從經(jīng)典的貝努里試驗，即例外個數(shù)服從B(T，p)二項分布。但是，關(guān)鍵問題在于，在有限樣本下，N/T相對于p的偏離大小達(dá)到什么程度時，才可以認(rèn)為是由模型失效而不是偶然因素所導(dǎo)致。基于這種思路，最經(jīng)典的檢驗方法是Kupiec提出的似然比檢驗。對于B(T，p)而言，為檢驗原假設(shè)p=N/T(成立即表示模型失效不是由偶然因素導(dǎo)致)是否成立，Kupiec(1995)構(gòu)造了似然統(tǒng)計量(3.1)。當(dāng)原假設(shè)成立時，LRuc近似服從自由度為1的卡方分布。因此，給定顯著性水平，即能根據(jù)LRuc的值判斷是否拒絕原假設(shè)。

(3.1)

四、實例

為了通過投資組合的ΔVaRi和CVaRi分析組合總體市場風(fēng)險的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，探究組合的每一項資產(chǎn)及其相應(yīng)調(diào)整、變化對組合整體風(fēng)險的影響程度，選擇中國聯(lián)通、萬科A、民生銀行和中國石化構(gòu)成一個投資組合，投入1 000萬元人民幣，且假設(shè)四只股票在投資組合中占比相同，即向每只股票投入250萬。

1.投資組合日收益率的正態(tài)性

首先，根據(jù)2007年6月至2007年11月共101個每日收盤價，根據(jù)計算每只股票的日收益率，其中，Pi，t為第i只股票第t個交易日的收盤價， 為第i只股票第t個交易日的日收益率(i=1，2，3，4， t=1，2，……，101)。其次，計算每只股票的日平均收益率Ri，t、方差σi2和標(biāo)準(zhǔn)差σi，以及方差—協(xié)方差矩陣(表1、表2)。最后，根據(jù)和計算投資組合的日平均收益率和標(biāo)準(zhǔn)差，分別為Rp =0.0063179，σp=0.0200749。

表3中顯著水平Sig>0.05，接受原假設(shè)，該投資組合日收益率服從正態(tài)分布。

2.投資組合的VaR、邊際VaR和成分VaR

投資組合日收益率服從正態(tài)分布，因此，在95%的置信水平下直接采用(2.1)、(2.2)和(2.3)計算組合的VaR、邊際VaR和成分VaR (表4)。

表4表明:(1)通過組合投資可以分散風(fēng)險——組合的VaR為3.31%，遠(yuǎn)小于四只股票的VaR總和5.57%。(2)四只股票中邊際VaR從大到小依次為中國石化(3.97%)、萬科A(3.5%)、中國聯(lián)通(3.11%)和民生銀行(2.62%)，即變化1單位的中國石化，組合風(fēng)險值會變化0.0397單位;如果想減少1元的風(fēng)險值，可以通過減少25.17(=1/3.97%)元的中國石化股票來實現(xiàn)。(3)四只股票中中石化的成分VaR最大，為0.99，如果刪除它，能減少0.99單位組合的VaR值;其余依次為萬科A(0.88)、中國聯(lián)通(0.78)和民生銀行(0.66)。(4)四只股票在投資組合中的風(fēng)險比重由大到小依次為中國石化(30.08%)、萬科A(26.51%)、中國聯(lián)通(23.57%)和民生銀行(19.84%)。

結(jié)論(2)、(3)和(4)表明，當(dāng)投資者需要調(diào)整組合的風(fēng)險或者調(diào)整資金頭寸時，可以根據(jù)邊際VaR和成分VaR的大小來調(diào)整投資組合。

3.模型回測

為檢驗該VaR模型的精確度，采用投資組合2005年12月1日至2008年10月21日共700個交易日的收益率進(jìn)行模型回測(不包括計算VaR的日收益率數(shù)據(jù))。700個交易日中有28個交易日的日收益率絕對值大于3.31%，在95%的置信水平下，根據(jù)式(3.1)構(gòu)造統(tǒng)計量:

LRuc=-21n[(1-0.05)700-280.0528]+21n{[1-(28/700)]700-28(28/700)28}=1.577

因此，接受原假設(shè)(p=N/T)，即該模型能夠準(zhǔn)確預(yù)測投資組合的VaR。因此，該投資組合的VaR模型較為準(zhǔn)確，計算結(jié)果可用于分析組合的投資風(fēng)險。

五、結(jié)論

許多學(xué)者關(guān)注VaR方法的理論及應(yīng)用研究，但這些研究很少關(guān)注投資組合VaR的變量。當(dāng)需要了解某一投資組合中各資產(chǎn)的VaR大小以及變動某一資產(chǎn)權(quán)重對投資組合的VaR將產(chǎn)生怎樣的影響時，單純的VaR無法提供充分信息，因而，Garman M(1997)提出成分VaR和邊際VaR。

本文采用德爾塔——正態(tài)法對VaR、邊際VaR和成分VaR進(jìn)行度量，使用假設(shè)檢驗法對模型精確性進(jìn)行回測。選擇深滬兩市四只股票構(gòu)建投資組合的研究結(jié)果表明:該投資組合的VaR模型較為準(zhǔn)確;通過邊際VaR和成分VaR，可以分析每只股票對投資組合VaR的邊際貢獻(xiàn)和總貢獻(xiàn)，掌握組合總體市場風(fēng)險的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，探究組合的每一項資產(chǎn)及其相應(yīng)調(diào)整、變化對組合整體風(fēng)險的影響程度。因此，通過將投資組合的VaR分解為邊際VaR和成分VaR，能提供更多風(fēng)險信息，可以用于了解資產(chǎn)組合中每一項資產(chǎn)及其相應(yīng)調(diào)整、變化對整體風(fēng)險的影響，識別組合全部風(fēng)險暴露中風(fēng)險的主要來源，為風(fēng)險管理者改進(jìn)整體風(fēng)險狀況、評估投資機會、分析資產(chǎn)調(diào)整對組合的影響提供重要指導(dǎo)，有助于在瞬息萬變的金融市場中更快更好地做出投資決策。

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Research on the portfolio VaR decomposition application

HU Rong-cai，LONG Fei-feng

(Statistics collage，Hunan university，Changsha 410079，China)

Abstract: VaR for the lack of， Garman M. in 1997， and marginal VaR components made VaR. Using Delta - Normal France metric portfolio VaR， marginal VaR and component VaR， the use of hypothesis testing the model back-tested results show that the method of calculating VaR model under the effective， marginal VaR and component VaR for asset managers to provide more information on investment portfolio risk.

Key words: Delta - Normal France metric; marginal VaR; component VaR; hypothesis testing