眼科病床合理安排——排隊論的應(yīng)用

摘要:該文主要是通過數(shù)學建模來幫助解決某醫(yī)院住院部的病床合理安排問題，以提高對醫(yī)院資源的有效利用。

關(guān)鍵詞:排隊論;馬爾可夫過程;逐步優(yōu)先就診模式

中圖分類號:TU246 文獻標識碼:A文章編號:1009-3044(2010)05-1204-04

Reasonable Arrangements of Ophthalmic Beds—the Application of Queuing Theory

LIANG Jie， FENG Ying-ying

(Henan Normal University College of Computer and Information Technology， Xinxiang 453007， China)

Abstract: In this paper， through mathematical modeling to help solve a hospital inpatient beds in a reasonable arrangements to enhance the efficient use of hospital resources.

Key words: queuing theory; Markov process; priority phase treatment model

排隊等待是我們每個人都要經(jīng)歷的，比如等待交款、等待就餐、等電梯等。病人不同于健康人，病人極不愿意接受排隊等待，排隊等待對病人的身心不利，也會產(chǎn)生人群聚集而不利用醫(yī)院的預(yù)防工作。隨著人們的防病意識的增強、生活節(jié)奏的加快和對醫(yī)療服務(wù)水平要求之提高，排隊等待的組織管理問題尤顯重要。醫(yī)院如果使病人等待，將導致病人不滿意或者可能失去病人。因此，病人排隊等待問題是應(yīng)該引起醫(yī)院管理者高度重視的問題。

該醫(yī)院眼科門診每天開放，住院部共有病床79張。該醫(yī)院眼科手術(shù)主要分四大類:白內(nèi)障、視網(wǎng)膜疾病、青光眼和外傷。白內(nèi)障手術(shù)較簡單，而且沒有急癥。目前該院是每周一、三做白內(nèi)障手術(shù)，此類病人的術(shù)前準備時間只需1、2天。做兩只眼的病人比做一只眼的要多一些，大約占到60%。如果要做雙眼是周一先做一只，周三再做另一只。

外傷疾病通常屬于急癥，病床有空時立即安排住院，住院后第二天便會安排手術(shù)。

其他眼科疾病比較復雜，有各種不同情況，但大致住院以后2-3天內(nèi)就可以接受手術(shù)，主要是術(shù)后的觀察時間較長。這類疾病手術(shù)時間可根據(jù)需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急癥數(shù)量較少，建模時這些眼科疾病可不考慮急癥。

該醫(yī)院眼科手術(shù)條件比較充分，在考慮病床安排時可不考慮手術(shù)條件的限制，但考慮到手術(shù)醫(yī)生的安排問題，通常情況下白內(nèi)障手術(shù)與其他眼科手術(shù)(急癥除外)不安排在同一天做。當前該住院部對全體非急癥病人是按照FCFS(First come， First serve)規(guī)則安排住院，但等待住院病人隊列卻越來越長，本文主要是通過數(shù)學建模來幫助解決該住院部的病床合理安排問題，以提高對醫(yī)院資源的有效利用。

1 模型一

1.1 問題的分析

通過對數(shù)據(jù)進行分析統(tǒng)計，針對醫(yī)院就診排隊問題，首先建立了最基本的排隊論模型。排隊論，或稱隨即服務(wù)系統(tǒng)理論，它是研究服務(wù)系統(tǒng)中排隊現(xiàn)象規(guī)律的科學。每當某項服務(wù)的現(xiàn)有需求量超過提供該項服務(wù)的現(xiàn)有能力時，排隊就會發(fā)生。

根據(jù)對該院數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，在該院目前的FCFS就診的模式下，除外傷疾病通常屬于急癥，病床有空時立即安排住院，住院后第二天便會安排手術(shù)。其他眼科疾病比較復雜，計算得出患者的等待時間平均為12—13天。由于病人到達時間的隨機性或診治病人所需時間的隨機性，排隊幾乎是不可避免的。因此，如何合理安排醫(yī)護人員及醫(yī)療設(shè)備，使病人排隊等待的時間盡可能減少，正是所要解決的問題。

1.2 研究對象

選取醫(yī)院門診部的就診患者為研究對象，建立排隊系統(tǒng)。以患者到達門診部進行登記為標志，表示該患者進入了系統(tǒng)的排隊系統(tǒng)當中;當患者入院接受醫(yī)院治療時，表示該患者接受了服務(wù)，當服務(wù)完成后，患者即離開排隊系統(tǒng)。

1.3 模型的組成

實際中的排隊系統(tǒng)各有不同，但此問題概括起來是由3個基本部分組成的，包括:輸入過程、排隊規(guī)則及服務(wù)機制，分別說明如下:

1.3.1 輸入過程

輸入過程說明顧客是按怎樣的規(guī)律到達系統(tǒng)的，需要從三個方面來刻畫一個輸入過程。

1)顧客源總體。可以分為有源總體和無源總體。(假設(shè)顧客源總體為無源總體)

2)顧客的到達方式。是單個到達還是成批到達。(假設(shè)顧客的到達方式是單個到達不是成批到達)

3)顧客相繼到達的時間間隔分布。這是刻畫輸入過程的最重要的內(nèi)容，主要通過一些已知的概率分布來描述，如泊松分布、定長分布、負指數(shù)分布等等。(假設(shè)患者的到來時相互獨立，相繼到來的時間間隔是隨機的，一定時間的到達服從Poisson分布)

1.3.2 排隊規(guī)則

排隊系統(tǒng)一般分為等待制、損失制和混合制。

1)等待制顧客到達系統(tǒng)后，如果沒有空閑的服務(wù)臺，及沒有空閑的床位，則顧客即排隊等候。等待制服務(wù)的方式由:先到先服務(wù)(FCFS)、后到先服務(wù)(LCFS)、隨機服務(wù)(SIRO)、優(yōu)先權(quán)服務(wù)(PR)四種。

在此問題中，主原則是先到先服務(wù)原則。由于存在外傷病人，屬于急診病人，有一定的優(yōu)先權(quán)，采取優(yōu)先權(quán)服務(wù)。(見改進模型2)

2)損失制顧客到達系統(tǒng)時，如果沒有空閑的服務(wù)臺，則顧客離開排隊系統(tǒng)，另求服務(wù)。這種現(xiàn)象很有可能發(fā)生在這個醫(yī)院，這種現(xiàn)象的發(fā)生說明醫(yī)院沒有滿足病人的要求。

3)混合制介于等待制和損失制之間，通過對排隊長度、顧客的等待時間等量的限制來對整個排隊模型進行限制。

1.3.3 服務(wù)機構(gòu)

指排隊系統(tǒng)中服務(wù)臺的個數(shù)、排列及服務(wù)方式。排隊系統(tǒng)中的服務(wù)臺的個數(shù)是一個或多個。多個服務(wù)臺可以是串聯(lián)或者并聯(lián)。

在這個問題中，由于四種不同的眼科疾病的治療時間不一樣，服務(wù)臺(即病床)是由串聯(lián)和并聯(lián)組成的混聯(lián)。根據(jù)四種不同的治療時間，交互使用病床，使病床的利用率達到最大化。(見改進模型3)

1.3.4 醫(yī)院門診系統(tǒng)的排隊模型

一個實際問題作為排隊問題求解時，首先要研究它屬于哪個模型。分類的方法為:

X/Y/Z/A/B/C

X—顧客相繼到達的間隔時間的分布;

Y—服務(wù)時間的分布;

M—負指數(shù)分布、D—確定型、Ek—k階愛爾朗分布。

Z—服務(wù)臺個數(shù);

A—系統(tǒng)容量限制(默認為∞);

B—顧客源數(shù)目(默認為∞);

C—服務(wù)規(guī)則(默認為FCFS)。

在這里，我們假設(shè)此醫(yī)院的排隊系統(tǒng)是服從M/M/C/ ∞/∞FCFS排隊模型的。這種模型是患者到達門診部為最簡單流，即患者到達間隔時間服從泊松分布，服務(wù)時間均服從負指數(shù)分布的多服務(wù)臺排隊系統(tǒng)，各服務(wù)臺工作相互獨立，單隊列，患者源無限，排隊規(guī)則為等待制，先到先服務(wù)。

1.4 數(shù)據(jù)處理以及模型求解

1.4.1 系統(tǒng)的狀態(tài)概率

系統(tǒng)的空閑概率p0，系統(tǒng)內(nèi)有n個患者的概率pn以及利用率p分別為:

通過對數(shù)據(jù)進行計算得出:

p0 =4.4970e-037

p =1.0602

1.4.2 系統(tǒng)主要運行指標

1)隊長系統(tǒng)內(nèi)的平均患者數(shù)稱為隊長，記為Ls。

Ls=Lq+λ/μ

根據(jù)對已有數(shù)據(jù)的統(tǒng)計，借助MATLAB軟件算出Ls為95.9603。

2)等待隊長系統(tǒng)內(nèi)排隊等待服務(wù)的平均患者稱為等待隊長，記為Lq。

L及Lq越大，說明服務(wù)率越低。

這個醫(yī)院現(xiàn)在采用就是FCFS就診模式，對已有數(shù)據(jù)進行處理，我們借助MATLAB軟件得出Ls以及Lq。Ls=95.9603，Lq =12.2012。

3)平均等待時間患者在系統(tǒng)能夠內(nèi)排隊等待接收服務(wù)的平均時間成為平均等待時間按，記為Wq。

Wq=Lq/λ

借助MATLAB軟件算出的平均等待時間:Wq =0.1387

4)平均逗留時間患者從進入排隊系統(tǒng)接收完服務(wù)后離開系統(tǒng)的平均時間按稱為平均逗留時間，記為Ws。

Ws=Ls / λ=Wq+1/μ

借助MATLAB軟件算出的平均逗留時間為:Ws =1.0905

據(jù)心理學調(diào)查，診病問題中僅僅等待時間按是患者們所關(guān)心的。一個排隊系統(tǒng)的平均等待時間越短，患者對于該排隊系統(tǒng)的滿意率就越高。

在上述問題求解的基礎(chǔ)上，通過研究主要數(shù)量指標在平穩(wěn)狀態(tài)下的概率分布及數(shù)字特征，可以了解整個排隊系統(tǒng)的基本特征及運作狀況，然后基于此，再來研究整個排隊系統(tǒng)的最優(yōu)化問題，其內(nèi)容有很多，如服務(wù)率控制問題、服務(wù)臺的開關(guān)策略等方面的問題。

2 模型二

2.1 問題分析

在幾種疾病中，由于外傷疾病通常屬于急癥，病床有空時立即安排住院，住院后第二天便會安排手術(shù)。由于存在外傷病人，它有一定的優(yōu)先權(quán)，采取優(yōu)先權(quán)服務(wù)。而不是和其他病人一樣遵循等待制服務(wù)。接下來分兩種情況討論，即根據(jù)是否給外傷病人預(yù)留病床來分類。

2.2 模型的建立及求解

2.2.1 類型一——不預(yù)留病床

通過對給出數(shù)據(jù)進行分析，可以得知此醫(yī)院并沒有給外傷病人預(yù)留床位，當外傷病人準備入院時，只有在有空床的前提下才讓進行手術(shù)治療，并沒有專門留給外傷患者的病床。

急診工作的特點是病人發(fā)病急聚，病人流量不穩(wěn)定，隨機性大，可控性小。因此，在合理安排急診床位數(shù)等方面存在一定的困難。當床位不足時，常出現(xiàn)病人等待時間延長，病人滿意度下降;而如果預(yù)留床位沒有得到使用，則造成不必要的空閑，形成資源浪費。如何在兩者之間取得平衡正是我們所面對的問題。最大滿足病人及家屬的需要，同時有效地避免資源浪費。

選取該醫(yī)院某一個月的外傷患者為研究對象，建立排隊系統(tǒng)。

在這一排隊系統(tǒng)中，病人來源是無限的，以病人進入門診登記為標志，進入排隊系統(tǒng);排隊等待的病人如暫時無床位時，這里假設(shè)醫(yī)院可以在走廊的簡易床上接受治療等待進入手術(shù)室。但是簡易床數(shù)不能過多。在這個群體中，病人按照先到先服務(wù)的原則，依次進行手術(shù)治療。統(tǒng)計病人到達間隔和服務(wù)時間的經(jīng)驗分布，通過計算，給出理想的急診病床床數(shù)，為實際工作提供可靠的、科學的、有預(yù)見性的指導。

通過檢驗得知，病人到達間隔時間T及醫(yī)生服務(wù)時間(手術(shù)時間)S均不服從特定的分布，因此只能做一般分布處理。這是，排隊系統(tǒng)記為G/G/K，遵循該排隊論類型的計算規(guī)律和特征。

根據(jù)排隊論理論，G/G/K排隊系統(tǒng)的解及其難求，目前數(shù)學上尚未有簡單有效地解法。我們可以近似認為，在高負荷狀態(tài)下，即KE[T]-E[S]≈0時，G/G/K系統(tǒng)的所有服務(wù)臺(床位)都被長期占用。因此整個服務(wù)系統(tǒng)看起來類似一個以T為到達間隔，以S/K為服務(wù)時間的G/G/K系統(tǒng)。根據(jù)參考文獻，給出高負荷狀態(tài)下G/G/K系統(tǒng)延誤時間(等待時間)Wq的近似解如下:

根據(jù)統(tǒng)計資料和數(shù)學計算可知，理論上維持急診工作正常運轉(zhuǎn)需要的床位數(shù)的最低值超出了實際可能承受的限度，遠遠無法滿足病人的需要。這必將直接影響病人的診斷和治療，使急需要治療的病人無法得到及時的服務(wù)。

在實際工作中，為緩解病床的不足，在走廊上設(shè)置臨時床位，為病人進行緊急救治和短期的觀察和治療。從理論上來說，臨時床位的數(shù)量是無限的，但在實際中，受到物資設(shè)備、工作人員的工作負荷等限制。

設(shè)置臨時床位也只是權(quán)宜之計。臨時床位設(shè)施簡陋，走廊人員繁雜，病人得不到足夠的重視和充分、及時的救護，無法滿足病人的要求，也不利于疾病的療治。統(tǒng)計資料表明，病人可以在走廊上等待的最大忍受上限平均是2.4天。因此必須進一步采取有效措施，改善現(xiàn)狀，以最少的支出獲得最大的成效。

對醫(yī)院的改進意見:1)適當增加急診床位數(shù)，完善設(shè)施和配備，解決排隊成龍現(xiàn)象。2)應(yīng)規(guī)劃治療，統(tǒng)一救治程序，有效縮短平均逗留時間及其波動程度，提高效率，加快周轉(zhuǎn)率。數(shù)據(jù)表明，如標準差降低1/3，則可在相同情況下使急診病人等待時間按和等待隊長明顯下降。

2.2.2 類型二——預(yù)留病床

當醫(yī)院為急診病人預(yù)留了專門病床時，情況如下:

將準予住院治療的病人分為急診病人和一般病人兩種，其到達分別服從參數(shù)為λn 和λp的Paisson分布。兩種病人住院時間均服從參數(shù)為u的指數(shù)分布。預(yù)先給定一個病床占有限制數(shù)B(規(guī)定B小于擁有的最大病床位數(shù)S)。當實際占用的病床數(shù)C

令: Pn及Pp分別為急診病人及一般病人占準予住院治療的全體病人之比例;則

① PN=λn/(λn+λp)

② 將λn/μ定義為λn，將λp /μ定義為λp

則λp+λn定義為γ，其中γ=λ×1/μ， λ=λn+λp

③ Cn為n個病床被占用的穩(wěn)態(tài)概率;

④ J(n，q)為n個病床被占用而q個病人在排隊等待的聯(lián)合穩(wěn)態(tài)概率

于是

這樣滿足上述條件的住院系統(tǒng)就是一個具有馬爾可夫的生滅過程。它是一類重要隨機過程，在已知它目前的狀態(tài)(現(xiàn)在)的條件下，它未來的演變(將來)不依賴于它以往的演變(過去)。這種已知“現(xiàn)在”的條件下，“將來”與“過去”獨立的特性稱為馬爾可夫性，具有這種性質(zhì)的隨機過程叫做馬爾可夫過程。

當實際的住院系統(tǒng)符合前面所述的假設(shè)時，可用得到的狀態(tài)概率方程組，以及穩(wěn)態(tài)情況下的差分方程設(shè)計相應(yīng)的計算機程序求出該排隊系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率Cn及排隊隊長概率Qk，在此基礎(chǔ)上進一步算出:

一般病人到達時所必須等待的概率;

所有病床被占用的天數(shù)比率F。

然而許多實際的住院排隊系統(tǒng)并不完全滿足前面的基本假設(shè)。但是據(jù)我們對于給出數(shù)據(jù)的初步統(tǒng)計與分析，預(yù)測出一個有待進一步精確的結(jié)果:B=3時，可以大致滿足外傷患者的需求，也不至于造成資源的浪費，其他患者的治療基本上也可以得到滿足。

3 模型三

3.1 問題分析

考慮到不同疾病的差異性，服務(wù)臺(即病床)可以看作是由串聯(lián)和并聯(lián)組成的混聯(lián)。根據(jù)五種不同的治療時間，交互使用病床，使病床的利用率達到最大化。目前該院是每周一、三做白內(nèi)障手術(shù)，此類病人的術(shù)前準備時間只需1、2天。如果要做雙眼是周一先做一只，周三再做另一只。外傷疾病通常屬于急癥，病床有空時立即安排住院，住院后第二天便會安排手術(shù)。其他眼科疾病比較復雜，有各種不同情況，但根據(jù)醫(yī)院的要求，一般不安排在周一、周三。

根據(jù)對不同疾病治療時間的統(tǒng)計，白內(nèi)障(單眼)為5.23天，白內(nèi)障(雙眼)為8.56天，視網(wǎng)膜疾病為12.54，青光眼為10.49天，外傷疾病為7.04天，這些治療時間是由當前醫(yī)療水平和醫(yī)院本身條件所決定，不能在短時間內(nèi)縮短其時間。

綜合考慮各種疾病的治療時間以及醫(yī)院的資源條件的限制，接下來建立了一個逐步優(yōu)先權(quán)就診模式。盡量使病床利用率達到最大，病人的等待時間縮短。

3.2 模型的建立

外傷隨機性較大，同時外傷者優(yōu)先，即無論是哪天前來就診，只要有空床立刻安排住院，白內(nèi)障手術(shù)之前需要準備一兩天，星期一、六、日接收白內(nèi)障患者(包括雙眼白內(nèi)障患者)，其他疾病，青光眼和視網(wǎng)膜疾病患者，入院后兩三天即可手術(shù)，并且白內(nèi)障手術(shù)在周一、二，青光眼和視網(wǎng)膜手術(shù)和白內(nèi)障手術(shù)不安排在同一天，因此，星期二、三、四接收青光眼、視網(wǎng)膜患者，星期五不受限制，按照先到先服務(wù)的原則安排住院。按照此方法安排住院時，當天前來就診而未安排住院的患者就要等到下一輪醫(yī)院可以接收此種病患者的那一天方可入院。例如，星期一前來就診的青光眼患者和視網(wǎng)膜患者沒有被安排住院，就需要等到星期二醫(yī)院安排這兩類病患者住院，此時此病人的等待時間為1天。

綜上，白內(nèi)障患者可在周一、六、日住院，青光眼和視網(wǎng)膜患者可在周二、三、四住院，這些病人的手術(shù)時間均為周四、五、六、日。

3.3 模型的求解及結(jié)果分析

由已知的數(shù)據(jù)可知，醫(yī)院眼科病床大部分時間是達到飽和狀態(tài)的，因為用床的緊張，所以只要患者住院，則經(jīng)過所需的準備期之后立馬手術(shù)，因而不用考慮多于準備期而占用床位的情況。病床安排的總原則為:白內(nèi)障患者可在周一、六、日住院，青光眼和視網(wǎng)膜患者可在周二、三、四住院。

由于醫(yī)院病床安排是一個連續(xù)的問題，而原表中給出的只是其中的一部分數(shù)據(jù)，利用這五類病的平均治療時間可算出大約經(jīng)過9天，可使在醫(yī)院的79個病人全部出院。假設(shè)那天醫(yī)院沒有任何住院病人，病床使用率為0。經(jīng)計算，25天之后醫(yī)院的病床占用已經(jīng)達到飽和情況，再入院的人數(shù)等于出院的人數(shù)，即達到一個平衡狀態(tài)，故可取26天后作為研究終點時間，以此來考慮全體患者總的等待時間及人均等待時間。

對這段時間的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，并借助MATLAB軟件對其進行處理，得出結(jié)果:這期間內(nèi)系統(tǒng)總?cè)?18人次，總體等待時間為258天。平均每人的等待時間為1.18天。

而原來的FCFS模型的平均等待時間為11.04天，與這個逐步優(yōu)先權(quán)模型的1.18天相比較，可以看出這個模型更加合理，更能滿足病人的需求，達到資源利用最大化。

經(jīng)統(tǒng)計，在此26天之內(nèi)，總共有196人入院，有117人出院，服務(wù)強度ρ=λ/cμ=1.275，ρ>1說明此系統(tǒng)出現(xiàn)了排隊現(xiàn)象，這與實際情況相符，且這個模型中的服務(wù)強度比問題一中的服務(wù)強度小，說明此系統(tǒng)的排隊長比問題一中的排隊長小，即此模型優(yōu)于原模型。

4 結(jié)論

綜上，本文主要是在原始的排隊論模型中，根據(jù)馬爾可夫的生滅過程，考慮眼科疾病急診與非急診特性，建立預(yù)留病床模型，引入病床占有限制數(shù)B。再在此基礎(chǔ)上，綜合考慮不同疾病的治療時間的差異性，建立了逐步優(yōu)先權(quán)就診模式。即外傷者優(yōu)先權(quán)最高，白內(nèi)障患者可在周一、六、日住院，青光眼和視網(wǎng)膜患者可在周二、三、四住院。這些病人的手術(shù)時間均為周四、五、六、日。最后通過計算，得出該模型的服務(wù)強度p為1.275與平均等待時間K為1.18，與原FCFS模型的數(shù)值相對比，結(jié)果顯示這個模型的平均等待時間短、病床利用率高、病人滿意度高，病床安排更加合理。

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