一階高斯自回歸過程參數估計的中心極限定理

摘要:該文首先介紹了一階高斯自回歸過程參數的Yule-Walker估計的中心極限定理，然后論述了Yule-Walker估計的中偏差。

關鍵詞:高斯自回歸過程;參數估計;中心極限定理

中圖分類號:TP311文獻標識碼:A文章編號:1009-3044(2010)03-742-02

The Central Limit Theorem of Parametric Estimation in 1-Order Gaussian Autoregressive Model

WANG Yan-yan1， DUAN Hong-mei2， MA Feng-li2， ZHUO Li1

(1.Department of Basic Education， Xuzhou Air Force College， Xuzhou 221000， China; 2.Institute of Science， PLA University of Science and Technology ， Nanjing 211101， China)

1 模型

考慮高斯自回歸過程Xn=θXn-1+εn，n≥1，其中{εn }獨立且分布于N(0，σ2)，θ是未知參數。統計問題是找出θ的一個估計量，然后去研究它的相關性質。由(1)知:

通過上式，我們看到X1，X2，…，Xn的分布并不僅僅由{εn }決定，X0的分布不容忽視。一些學者已經研究了如下三種情況:

(A)X0是常數，(B)■，(C) X0=Xn。

如果{εn }～ N(0，σ2)并且(B)成立，則過程是平穩的。而情形(C)可看作是(B)的近似。對θ的最小二乘估計量■Mann和Wald以及White對情形(A)中心極限定理做了深入的研究，對情形(A)，θ可以取值于R，而情形(B)和(C)則要求θ∈(-1，1)。

Mann和Wald研究θ∈(-1，1)情形，White研究了一般情形.我們主要研究Yule-Walker估計■在平穩過程的中心極限定理。

2 定理

令■n=■n-θ，X0=C(常數)則當∣θ∣<1時，■，其中■表示依分布收斂。

3 定理的證明

在此我們討論X0=0的情形，對于非零情形，可類似證明。下面的證明分三個步驟。

步驟1:不失一般性，設σ2=1.則X=(X1，…，Xn)的密度函數為

其中是n階矩陣

而

其中A和B是n階矩陣

B=I(I為單位矩陣)

令m(u，v)表示X'AX和X'BX的聯合鉅母函數，

其中

p=1+θ2-2v+2θu，q=-(θ+u)，a=1+2θu-2v。

由著名的積分公式，我們有

由遞推公式

我們有

，

其中

。

步驟2:求個g(n)( ■n- θ)的極限分布，其中■

首先我們考慮X'AX和X'BX的聯合分布。令M(U，V)表示這兩個統計量的矩母函數:

令g=g(n)，u=U/g，v=V/g.我們有

其中

對充分大的n且∣θ∣≠1，

當∣θ∣<1時，

從而

步驟3: 下面的問題就是通過■找到g(n)( ■n- θ)的極限分布。

由于■，問題轉化為找兩個隨機變量比值的分布。Gurland[4]提供了一種方法:令X和Y表示兩個隨機變量，P(Y>0)=1。目標是確定Z=X/Y的分布。令W=Wz=X-zY，于是我們有

而的分布可以從X和Y的聯合矩母函數得到，令

m(w)=E(exp{Ww})，m*(u，v)=E(exp{Xu+Yv})，(下轉第747頁)

(上接第743頁)

于是m(w)=E(exp{X-zY}w)= E(exp{X w-Yzw})=m*(w，-zw)

令W=X'AX/g-X'BX/g2運用上面的技巧，我們有m(w)==M(w，-zw)，進而

由逆轉公式，我們有

即g(n)( ■n- θ)是漸進分布于N(0，1)。

參考文獻:

[1] Fan J，Yao Q.Nonlinear Time Series (Nonparametric and Parametric Methods) [M].北京:科學出版社，2006.

[2] Worms， J.， Moderate deviations for stable Markov chains and regression models [J].Electron.J. Probab.，4(1999)，1-28.

[3] Mann，H.B.，Wald， On the statistical treatment of linear stochastic difference equations， [J]Econ- ometrica， 11(1943)，173-200.

[4] Gurland，J.，Inversion formulae for the distribution of ratios [J].Ann. Math.Stat.，19(1948)，228-237.

[5] 盛驟.概率論與數理統計[M].北京:高等教育出版社，2001.9.

[6] 田錚.時間序列的理論與方法[M].北京:高等教育出版社，2001.

[7] 楊子胥.高等數學習題解[M].濟南:山東科技出版社，2001.9.