探求高考題中二面角的解題方法

化學(xué)是一門(mén)實(shí)驗(yàn)科學(xué)，考查學(xué)生的實(shí)驗(yàn)?zāi)芰蜔o(wú)疑處于重要的地位，高考化學(xué)實(shí)驗(yàn)題賦分較高(2010年占全卷分?jǐn)?shù)20%)，但它往往又是得分率較低的題目，因此化學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)芰δ芊裉岣撸呷瘜W(xué)實(shí)驗(yàn)備考得成功與否，是高考能否制勝的關(guān)鍵之一。隨著高考的臨近，對(duì)實(shí)驗(yàn)備考策略的研究及應(yīng)用就顯得尤為重要。

一、溫故知新——回顧近年實(shí)驗(yàn)

1.試題的形式

近幾年高考試卷實(shí)驗(yàn)題呈現(xiàn)方式主要有兩種，即第Ⅰ卷的選擇題和第Ⅱ卷的綜合實(shí)驗(yàn)題。其中第Ⅰ卷有兩題，2009年的兩個(gè)題目均要用化學(xué)1、選修4、選修5三個(gè)模塊的知識(shí)來(lái)解答。

2.涉及的主干知識(shí)及特點(diǎn)

選擇題兩題，一題(單選、中等難度)以實(shí)驗(yàn)裝置圖判斷等形式從基本實(shí)驗(yàn)事實(shí)或操作方面命題，另一題(雙選、中等難度)從基本實(shí)驗(yàn)裝置或操作方面命題。涉及的知識(shí)有:物質(zhì)的分離，如萃取、溶解、過(guò)濾、蒸餾、分餾等;物質(zhì)的鑒定和鑒別;離子的檢驗(yàn);溶液的配制(包含配制一定物質(zhì)的量濃度溶液、一定質(zhì)量分?jǐn)?shù)溶液、FeCl類型考慮水解因素溶液);有機(jī)物制備裝置(乙酸乙酯);氣體的制備(NH)、干燥(HCl、Cl)、收集(NH)、吸收、提純;裝置的氣密性檢查;儀器的使用(容量瓶)、洗滌;藥品的保存，等等。

第Ⅱ卷的綜合實(shí)驗(yàn)題(中等難度)涉及知識(shí)為:物質(zhì)的制備(條件、分離、繪圖等)、定量測(cè)定有害離子含量(計(jì)算、儀器、誤差、實(shí)驗(yàn)原理和技術(shù))、環(huán)境污染測(cè)定(實(shí)驗(yàn)方案設(shè)計(jì)、實(shí)驗(yàn)探究、比色法)、飲用水的處理(測(cè)定離子含量、離子方程式、實(shí)驗(yàn)探究、計(jì)算等)等。這道題的最大特點(diǎn)是基于實(shí)際化工生產(chǎn)背景(真實(shí)情景)，更好地體現(xiàn)了實(shí)驗(yàn)綜合題考查的原則，即體現(xiàn)公平性、真實(shí)性、應(yīng)用性、思維性與探究性。實(shí)驗(yàn)考查所涉及的領(lǐng)域主要是:化學(xué)的核心概念和基本原理的考查、化學(xué)對(duì)人類社會(huì)的貢獻(xiàn)、體現(xiàn)應(yīng)用、關(guān)注社會(huì)、關(guān)注生活、關(guān)注生產(chǎn)等實(shí)際應(yīng)用的考查、對(duì)學(xué)生化學(xué)素養(yǎng)和化學(xué)學(xué)科能力的考查。

這些考查符合考綱要求學(xué)生“掌握化學(xué)實(shí)驗(yàn)的基本方法和技能”，注重化學(xué)實(shí)驗(yàn)的“科學(xué)性、可行性、簡(jiǎn)約性、安全性”，能力測(cè)試上“具有較強(qiáng)的問(wèn)題意識(shí)，能夠在給定情境中通過(guò)分析、判斷提出有探究?jī)r(jià)值的化學(xué)問(wèn)題的能力”，“能運(yùn)用觀察、實(shí)驗(yàn)、閱讀資料等多種手段收集證據(jù)，能運(yùn)用比較、分類、歸納、概括等方法形成探究結(jié)論”。

回顧近年高考試卷設(shè)題情況，可以幫助我們明確沖刺階段應(yīng)備考些什么。溫故而知新，了解近年高考試卷，可以開(kāi)拓我們的視野，使備考有所發(fā)現(xiàn)，有所進(jìn)步。

二、高瞻遠(yuǎn)矚——研讀考試說(shuō)明

高考《考試說(shuō)明》是高考的指揮棒，我們應(yīng)認(rèn)真研讀《考試說(shuō)明》，吃透高考化學(xué)實(shí)驗(yàn)考查的精神實(shí)質(zhì)，明確備考的目標(biāo)和方向，以達(dá)到事半功倍的復(fù)習(xí)效果。把2010年“說(shuō)明”上對(duì)實(shí)驗(yàn)的要求與2009年進(jìn)行比較，找出改動(dòng)、刪減、增加部分，認(rèn)真研讀這些變化，尤其是典型題示例變化試卷，可以進(jìn)一步參透考綱精神，可以進(jìn)一步明確高考究竟考什么，可以在沖刺階段擺正復(fù)習(xí)的主攻方向。

研讀2010年的高考化學(xué)《考試說(shuō)明》我們發(fā)現(xiàn)，與2009年的《考試說(shuō)明》相比，實(shí)驗(yàn)部分的變化為以下幾點(diǎn):

1.把“了解控制實(shí)驗(yàn)條件的方法，能設(shè)計(jì)、評(píng)價(jià)和改進(jìn)簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)方案”改為“了解控制實(shí)驗(yàn)條件的方法，能改進(jìn)簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)方案”，去掉“設(shè)計(jì)、評(píng)價(jià)”四字。

2.增加“能綜合運(yùn)用化學(xué)實(shí)驗(yàn)原理和方法，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案解決簡(jiǎn)單的化學(xué)問(wèn)題，能對(duì)實(shí)驗(yàn)方案、實(shí)驗(yàn)過(guò)程和實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析和評(píng)價(jià)”。

3.化學(xué)實(shí)驗(yàn)分值由試卷的18%提高到20%。

調(diào)整和變化更加凸顯了學(xué)科特色;體現(xiàn)了2010年說(shuō)明中強(qiáng)調(diào)的江蘇特色——“厚實(shí)踐”(即加大實(shí)驗(yàn)和運(yùn)用的考查)，暗示了實(shí)驗(yàn)題量增大是趨勢(shì)。要解讀考綱，不能忽視典型題示例解析的導(dǎo)向功能，要對(duì)典型題示例認(rèn)真解讀，我們更要關(guān)注和研究作出這種調(diào)整是源于何種思想。

案例1:典型題示例示例4(題見(jiàn)2010年考試說(shuō)明，下同)，該題從物質(zhì)的鑒別、溶液的配制、物質(zhì)的提純、膠體的丁達(dá)爾現(xiàn)象四個(gè)角度考查學(xué)生對(duì)化學(xué)實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握程度，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注實(shí)驗(yàn)方案的可行性，考查學(xué)生運(yùn)用化學(xué)實(shí)驗(yàn)方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力。我們就要解讀出為什么關(guān)注這幾個(gè)角度?為什么用“引導(dǎo)”這個(gè)詞?為什么一直對(duì)溶液配制“情有獨(dú)鐘”?

案例2:典型題示例5(原題為2009江蘇卷的第6題，需要更正的是《考試說(shuō)明》上答案應(yīng)為B)，本題以溶液配制、準(zhǔn)確體積標(biāo)準(zhǔn)溶液的量取、混合物的萃取分離、乙酸乙酯的制取中的實(shí)驗(yàn)操作為素材，考查學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)操作的熟悉程度和實(shí)驗(yàn)原理的應(yīng)用能力，特別是“用量筒量取5.00mL1.00mol·L鹽酸于50mL容量瓶中，加水稀釋至刻度，可配制0.100mol·L鹽酸”選項(xiàng)的判斷，此題顯然是試圖引導(dǎo)中學(xué)化學(xué)教學(xué)關(guān)注化學(xué)實(shí)驗(yàn)操作的真實(shí)性。我們就要解讀出為什么關(guān)注這幾個(gè)角度?為什么用“特別”這個(gè)詞?為什么強(qiáng)調(diào)真實(shí)性三個(gè)字?同樣對(duì)于仍然保留的題型示例，我們也要分析其理由，如2005年實(shí)驗(yàn)題仍保留，應(yīng)該說(shuō)明它仍是一種方向。

三、厚積薄發(fā)——培養(yǎng)實(shí)戰(zhàn)能力

古人讀書(shū)講究“厚積薄發(fā)”，實(shí)驗(yàn)備考也一樣，沒(méi)有“量”的積累，就很難求“質(zhì)”的突破。要想高考實(shí)驗(yàn)得高分，掌握一定量的知識(shí)，并學(xué)會(huì)運(yùn)用遷移很重要。

1.實(shí)驗(yàn)挖掘教材功能

備考過(guò)程中應(yīng)悟透考點(diǎn)，復(fù)習(xí)到位。悟透考點(diǎn)，即要明確《考試說(shuō)明》上實(shí)驗(yàn)部分的知識(shí)點(diǎn)，能力點(diǎn)及要求。復(fù)習(xí)到位，就是要參透所有考點(diǎn)，不遺漏任何一個(gè)考點(diǎn)，不留死角。教材是命題的基礎(chǔ)，科學(xué)備考應(yīng)回歸教材，以本為綱。備考時(shí)要熟悉和理解新教材課本上的演示實(shí)驗(yàn)和學(xué)生實(shí)驗(yàn)(含選做)的原理、操作、現(xiàn)象、結(jié)論，并分析歸納實(shí)驗(yàn)原理、裝置原理和操作原理上的共性和特性，掌握實(shí)驗(yàn)規(guī)律。如常見(jiàn)化學(xué)儀器的用途和使用方法，化學(xué)實(shí)驗(yàn)基本操作(藥品取用，物質(zhì)的溶解，試紙的使用，物質(zhì)加熱，藥品存放，安全事故處理)，混合物分離提純(沉淀、過(guò)濾、洗滌、分液)，物質(zhì)的制備(藥品、原理、步驟、收集，檢驗(yàn)，裝置，尾氣處理等)和物質(zhì)檢驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)儀器的作用(燒瓶與大試管)，實(shí)驗(yàn)裝置的組裝(儀器組裝注意:①防倒流;②防倒吸;③防暴沸;④防堵塞;⑤防潮解;⑥防氧化;⑦防對(duì)流;⑧防過(guò)分加熱)，實(shí)驗(yàn)操作的目的，藥品的要求(如實(shí)驗(yàn)室制氨氣等)。理解、掌握這些基本知識(shí)，并進(jìn)行知識(shí)延伸。把教材實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的知識(shí)點(diǎn)、熱點(diǎn)轉(zhuǎn)變?yōu)樘接懶缘膯?wèn)題，編寫(xiě)導(dǎo)讀提綱且指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行設(shè)問(wèn)、質(zhì)疑、析疑、激思，來(lái)促進(jìn)實(shí)驗(yàn)復(fù)習(xí)，同時(shí)通過(guò)典型實(shí)驗(yàn)把元素化合物及基本概念，基本理論的重點(diǎn)知識(shí)生長(zhǎng)和連接起來(lái)，形成知識(shí)系統(tǒng)。

案例3.下圖為模擬鐵生銹的實(shí)驗(yàn)。鐵粉中均勻混有少量碳粉，撒入在內(nèi)壁已分別用氯化鈉溶液和稀醋酸潤(rùn)濕過(guò)的甲、乙兩支具支試管。打開(kāi)止水夾片刻后，以下有關(guān)該實(shí)驗(yàn)的說(shuō)法合理的是(?搖求二面角是高考題立體幾何部分的重點(diǎn)和熱點(diǎn)問(wèn)題，它對(duì)學(xué)生的空間想象、推理論證、運(yùn)算求解等基本能力進(jìn)行了很好的考查。但因其抽象性、綜合性和多變性，很多考生望而生畏。我省正處于傳統(tǒng)教材與新課標(biāo)教材交替之際，我結(jié)合自身教學(xué)實(shí)際，探求高考題中二面角的解題策略，供大家參考。

傳統(tǒng)教材二面角的求法:①“一找二證三求”，找出這個(gè)二面角的平面角，然后證明我們找出來(lái)的這個(gè)角是要求的二面角的平面角，最后通過(guò)解三角形來(lái)求。②通過(guò)射影面積來(lái)求cosα=(在其中一個(gè)平面內(nèi)找出一個(gè)三角形，然后找這個(gè)三角形在另外一個(gè)平面的射影，那么這個(gè)三角形的射影面積與原三角形面積之比即為cosα，注意到我們要求的角為α或π-α)。

新課標(biāo)教材引入向量法求二面角:先求兩個(gè)平面的法向量所成的角為α，那么這兩個(gè)平面所成的二面角的平面角為α或π-α。

對(duì)于具體的一道高考題，究竟用哪一種方法好呢?我們先看一道高考題。

例1.(2009全國(guó)卷Ⅰ理科18題)如圖，四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，點(diǎn)M在側(cè)棱SC上，∠ABM=60°。

(Ⅰ)證明:M是側(cè)棱SC的中點(diǎn);

(Ⅱ)求二面角S-AM-B的大小。

證明:(Ⅰ)略。

解:(Ⅱ)方法一:利用二面角的定義找平面角。在等邊三角形ABM中過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AM交AM于點(diǎn)F，則點(diǎn)F為AM的中點(diǎn)，取SA的中點(diǎn)G，連GF，由于GF∥SM，因此GF⊥AM，則∠GFB即為所求二面角。在△GFB中，由余弦定理可求得∠GFB=π-arccos，即為二面角S-AM-B的大小。(畫(huà)圖略)

方法二:向量法。分別以直線DA、DC、DS為x、y、z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則A(，0，0)，B(，2，0)，C(0，0，2)，S(0，0，2)。

可求得平面SAM、MAB的法向量分別為=(，1，1)，=(，0，2)(求法向量過(guò)程略)，

∴cos<，>==，

則所求二面角的大小π-arccos。

仔細(xì)分析以上幾種解法，不難發(fā)現(xiàn):

1.方法一很簡(jiǎn)捷，但很多學(xué)生由于空間立體感不強(qiáng)，注意不到二面角的兩個(gè)面三角形的特殊性，從而失去極佳的解題方法。這要求我們?cè)谄綍r(shí)教學(xué)中要提高學(xué)生對(duì)空間幾何體的認(rèn)識(shí)水平。

2.方法二容易操作，尤其是已知幾何體中存在“三垂直”條件，比較容易建立坐標(biāo)系，所需向量的坐標(biāo)都好求，剩下的就是基本計(jì)算，最終把空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，這也是新課標(biāo)的基本要求，是發(fā)展趨勢(shì)。

3.幾何法與向量法各有利弊:幾何法注重推理論證與空間想象，即難以確定解題思路，而解題過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)明;向量法恰恰降低了以上兩點(diǎn)難度，起到研究幾何圖形的工具作用，從一個(gè)新的角度發(fā)展學(xué)生的空間想象力和幾何直觀能力，但是書(shū)寫(xiě)過(guò)程較多，要運(yùn)用熟練節(jié)省考試時(shí)間，提高效率。

例2.(2008山東卷20題)如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F(xiàn)分別是BC， PC的中點(diǎn)。

(Ⅰ)證明:AE⊥PD;

(Ⅱ)若H為PD上的動(dòng)點(diǎn)，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角E-AF-C的余弦值。

證明:(Ⅰ)略。

解:(Ⅱ)可以證明，EH與平面PAD所成最大角的正切值為時(shí)，PA=AB(過(guò)程略)，下面求二面角E-AF-C的余弦值。

方法一:因?yàn)镻A⊥平面ABCD，PA?奐平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD。過(guò)E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC，過(guò)O作OS⊥AF于S，連接ES，則∠ESO為二面角E-AF-C的平面角，在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=，AO=AE·cos30°=， 又F是PC的中點(diǎn)，在Rt△ASO中，SO=AO·sin45°=，又可求SE=，在Rt△ESO中，cos∠ESO==，即所求二面角的余弦值為。

方法二:由(Ⅰ)知直線AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)PA=2，又E、F分別為BC、PC的中點(diǎn)，所以A(0，0，0)，B(，-1，0)，C(C，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(，0，0)，F(xiàn)(，，1)，可求得平面AEF的一法向量為m=(0，2，-1)(求法向量過(guò)程略)，因?yàn)锽D⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以 BD⊥平面AFC，故 為平面AFC的另一法向量。又=(-，3，0)，求得二面角的余弦值為。

對(duì)于解法一，由于二面角的棱不屬于正常擺放，屬于“斜放”，考生不易接受，往往找不出平面角，或把平面角找錯(cuò)。不僅浪費(fèi)時(shí)間，丟掉分?jǐn)?shù)，更重要的是喪失了解題信心，影響全局。但是如果用向量法，底面ABCD為菱形，不存在垂直關(guān)系，怎么建坐標(biāo)系?仔細(xì)分析后發(fā)現(xiàn)，本題雖然底面ABCD為菱形，但里面隱含著“三垂直”，結(jié)合∠ABC=60°容易找到AE垂直AD。坐標(biāo)系一經(jīng)建立，其他問(wèn)題便迎刃而解。這里提醒大家，我們要善于利用等腰三角形的中線、菱形的對(duì)角線等垂直關(guān)系。

現(xiàn)在我省正處于“傳統(tǒng)大綱”指導(dǎo)下的高考命題和新課標(biāo)教材引領(lǐng)下的課堂教學(xué)交替的當(dāng)口，怎么應(yīng)對(duì)這種局面值得我們思考。我認(rèn)為，在重視傳統(tǒng)求二面角方式，并對(duì)其適當(dāng)改進(jìn)和取舍的基礎(chǔ)上，應(yīng)向新課標(biāo)方法靠攏。注意研究新課標(biāo)課本對(duì)二面角的設(shè)置:人教A版在《數(shù)學(xué)2》“平面與平面垂直的判定”一節(jié)中，利用修筑水壩、發(fā)射衛(wèi)星等實(shí)例，引出二面角的概念，并介紹了二面角平面角的概念，沒(méi)有設(shè)計(jì)求二面角大小的例題、練習(xí)，只是在習(xí)題中設(shè)置了兩道簡(jiǎn)單的以三棱錐、正方體為載體的求二面角大小的題目。二面角大小的計(jì)算主要安排在選修2-1的“空間向量與立體幾何”中。由此不難預(yù)測(cè)，在不遠(yuǎn)的將來(lái)，向量法將成為新課標(biāo)高考中求二面角的主要方法。這兩年的高考命題也一定會(huì)向這個(gè)方向靠攏，設(shè)計(jì)出既可以用傳統(tǒng)方法，又可以用向量方法來(lái)計(jì)算二面角的題型，因此學(xué)生在平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)要熟練掌握，如此在考場(chǎng)上才能靈活應(yīng)對(duì)。

由于新課標(biāo)突出了用向量來(lái)解決立體幾何的有關(guān)問(wèn)題，因此我建議解決高考題中二面角的問(wèn)題，可以優(yōu)先考慮建立坐標(biāo)系，用向量來(lái)求二面角，但是當(dāng)運(yùn)用向量不是很方便，尤其是無(wú)法順利建立坐標(biāo)系的時(shí)候，傳統(tǒng)的解法也要能夠運(yùn)用自如。

參考文獻(xiàn):

[1]邱云.二面角的教學(xué)困惑與研究.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2009年第12期上旬.)。