案例教學(xué)在高等數(shù)學(xué)課程中的作用

摘 要: 高等數(shù)學(xué)是一門(mén)抽象的學(xué)科，教師在教學(xué)中有效地利用案例，不僅可以激發(fā)學(xué)生的興趣，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，而且能培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維，提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞: 高等數(shù)學(xué) 案例教學(xué) 作用

如果將整個(gè)數(shù)學(xué)比作一棵大樹(shù)，那么初等數(shù)學(xué)是樹(shù)根，名目繁多的數(shù)學(xué)分支是樹(shù)枝，而樹(shù)干的主要部分就是微積分。這體現(xiàn)出了微積分的重要性，以及它和各科之間的關(guān)系。學(xué)生一進(jìn)大學(xué)就會(huì)接觸到高等數(shù)學(xué)，這種課程設(shè)置當(dāng)然有其道理:為了與他們?cè)诟吣昙?jí)將學(xué)的一些課程的銜接等。但是，學(xué)生因?yàn)樵谌雽W(xué)前對(duì)大學(xué)所學(xué)的難度都突然加深了的各門(mén)課程還處于陌生與被動(dòng)狀態(tài)，尤其是當(dāng)接觸到較初等數(shù)學(xué)更為抽象的高等數(shù)學(xué)，還欠缺更高層次的抽象思維能力，加上高中時(shí)候的學(xué)習(xí)方法已不再能對(duì)付大學(xué)課程，所以一開(kāi)始學(xué)的時(shí)候就有吃力的感覺(jué)，接受新知也較為被動(dòng)。我結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)歷，談?wù)劙咐虒W(xué)在高等數(shù)學(xué)課程中的作用。

一、在高等數(shù)學(xué)中恰當(dāng)?shù)刂v授數(shù)學(xué)史

數(shù)學(xué)科學(xué)作為一種文化，不僅是整個(gè)人類(lèi)文化的重要組成部分，而且始終是推進(jìn)人類(lèi)文化的重要力量。著名的哲學(xué)家A.Whitehead在批評(píng)以往思想史家們忽視數(shù)學(xué)的地位時(shí)，曾打了一個(gè)比喻來(lái)說(shuō)明數(shù)學(xué)是人類(lèi)思想史的要素之一。他說(shuō):“假如有人說(shuō):編著一部思想史而不深刻研究每一個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)概念，就等于是在《哈姆雷特》這一劇本中去掉了哈姆雷特這一角色，這一說(shuō)法也許太過(guò)分了，我不愿說(shuō)得這樣過(guò)火。但這樣做卻肯定地等于是把奧菲莉這一角色去掉了。奧菲莉?qū)φ麄€(gè)劇情來(lái)說(shuō)，是非常重要的。”

在教師教學(xué)里，引進(jìn)與主題相關(guān)的數(shù)學(xué)史題材，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)會(huì)有很正面的意義，不僅能調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，而且能協(xié)助學(xué)生將抽象觀念具體化。因?yàn)椴徽撛诳萍紤?yīng)用層面或思想突破方面，數(shù)學(xué)重要概念的演進(jìn)確有其實(shí)用面的意義，因此具有啟發(fā)性的數(shù)學(xué)史方面的教學(xué)實(shí)屬必要。在高等數(shù)學(xué)的教材中我們會(huì)接觸到一些根本重要性的定理和概念。如牛頓—萊布尼茲定理、拉格朗日中值定理、傅立葉三角級(jí)數(shù)等。這些定理和概念的學(xué)習(xí)不僅對(duì)于學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)說(shuō)是重要的，而且對(duì)于提高數(shù)學(xué)素質(zhì)也是極其必要的。它們是微積分的精華，是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的必講內(nèi)容。這些定理和概念大都是以重要數(shù)學(xué)人物的名字命名的，他們也恰恰是微積分的創(chuàng)立者和先驅(qū)。這就提醒我們?cè)谡n堂教學(xué)過(guò)程中適當(dāng)?shù)丶尤胂闰?qū)們的生平和業(yè)績(jī)的介紹，讓學(xué)生可看到數(shù)學(xué)的發(fā)展是曲折的，一個(gè)重要概念的產(chǎn)生是離不開(kāi)實(shí)際問(wèn)題的，只要對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行精力的思索，就可以找出問(wèn)題的本質(zhì)，抽象出數(shù)學(xué)思想。并且從先驅(qū)們的言行里學(xué)生能感受到科學(xué)家的治學(xué)態(tài)度和對(duì)知識(shí)的執(zhí)著追求，這往往能激發(fā)他們刻苦鉆研、勇往直前的奮斗精神。教師不僅能在有限的時(shí)間里完成教學(xué)任務(wù)，而且可以起到提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，傳遞數(shù)學(xué)思想的作用，對(duì)課堂教學(xué)起到了畫(huà)龍點(diǎn)睛的作用。

二、通過(guò)實(shí)際例子來(lái)激發(fā)學(xué)生的興趣

真正有意義的數(shù)學(xué)，是由直觀想象與演繹推理相結(jié)合而創(chuàng)造出來(lái)的。高等數(shù)學(xué)有著完整的系統(tǒng)性和邏輯性，它始終遵循著源于個(gè)體，拓展個(gè)體，最終又回到個(gè)體，解釋個(gè)體的認(rèn)識(shí)原則，比如我們所熟知的導(dǎo)數(shù)和定積分的概念。所以高等數(shù)學(xué)概念的形成也總是源于實(shí)際，高于實(shí)際，而又立足于實(shí)際。我們通過(guò)一些實(shí)際的例子，不僅可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，而且可以拓展學(xué)生的視野，可謂一舉兩得。

美伊戰(zhàn)爭(zhēng)給人們帶來(lái)太多的震撼。從2003年3月20日正式爆發(fā)，到4月11日美軍攻占巴格達(dá)。進(jìn)攻者以區(qū)區(qū)十萬(wàn)余人的軍隊(duì)，在二十幾天的時(shí)間里，幾乎沒(méi)經(jīng)過(guò)像樣的戰(zhàn)斗就完全征服了一個(gè)世界中等軍事強(qiáng)國(guó)。不少人覺(jué)得美伊戰(zhàn)爭(zhēng)不像一場(chǎng)戰(zhàn)爭(zhēng)，而更像一場(chǎng)游戲。

而事實(shí)上并不奇怪，美軍打的是一場(chǎng)由數(shù)學(xué)支撐的信息化戰(zhàn)爭(zhēng)。湯姆遜說(shuō):信息不僅僅是一件武器，它還是一種能夠改變戰(zhàn)爭(zhēng)文化和定勢(shì)的新技術(shù)。它能改變一切。它所帶來(lái)的變化比我們看到的任何一種變化都來(lái)得強(qiáng)烈，比坦克、潛艇甚至原子彈都要厲害。在今天的戰(zhàn)場(chǎng)上，誰(shuí)擁有絕對(duì)的信息掌控權(quán)，誰(shuí)就能獲得勝利。美軍在美伊戰(zhàn)爭(zhēng)中通過(guò)數(shù)據(jù)鏈把天空地海、本土統(tǒng)帥部、前方司令部和戰(zhàn)場(chǎng)上每一個(gè)士兵連為一體，反應(yīng)靈敏，隨心所欲，以最短的時(shí)間、最小的代價(jià)、最快的速度、最大的戰(zhàn)果，贏得勝利。

通過(guò)介紹這個(gè)案例，相信學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的重要性會(huì)有個(gè)大概的了解，數(shù)學(xué)不是與實(shí)際毫不相干的，而是緊密結(jié)合在一起的。

三、在教學(xué)中巧妙地穿插數(shù)學(xué)模型的相關(guān)知識(shí)

數(shù)學(xué)模型是能使數(shù)學(xué)與生活相聯(lián)系體現(xiàn)數(shù)學(xué)的工具。建立模型需要一定的生活情景作為依托，學(xué)生能體會(huì)到實(shí)際情景中的數(shù)學(xué)，在建立模型，形成新的數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，學(xué)生能更加體會(huì)到數(shù)學(xué)與大自然和人文環(huán)境的自然聯(lián)系。

例如數(shù)學(xué)模型在求二元函數(shù)的通常極值與條件極值，Lagrange乘數(shù)法，以及最小二乘法在數(shù)學(xué)建模中應(yīng)用也廣。在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生用方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力。此外，常微分方程還是不同專(zhuān)業(yè)的大學(xué)生在高等數(shù)學(xué)中共學(xué)的內(nèi)容。如何建立常微分方程，解常微分方程是建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的有力工具。為此，在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，花時(shí)間講如何在實(shí)際問(wèn)題中提煉微分方程并且求解，能培養(yǎng)學(xué)生提煉問(wèn)題本質(zhì)的能力。例如流言蜚語(yǔ)問(wèn)題、養(yǎng)老保險(xiǎn)問(wèn)題、疾病傳播問(wèn)題等，都可以利用常微分的知識(shí)建立一些最基本的模型。再比如，1990年伊拉克點(diǎn)燃了科威特的數(shù)百口油井，濃煙遮天蔽日，美國(guó)及其盟軍在發(fā)動(dòng)“沙漠風(fēng)暴”以前，曾嚴(yán)肅地考慮點(diǎn)燃所有油井的后果。據(jù)美國(guó)《超級(jí)計(jì)算評(píng)論》雜志披露，五角大樓要求太平洋—賽拉研究公司研究此問(wèn)題。該公司利用Navier-Stokes方程和有熱損失能量方程作為計(jì)算模型，在進(jìn)行一系列模擬計(jì)算后得出結(jié)論:大火的煙霧可能招致一場(chǎng)重大的污染事件，它將波及波斯灣、伊朗南部、巴基斯坦和印度北部，但不會(huì)失去控制，不會(huì)造成全球性的氣候變化，不會(huì)對(duì)地球的生態(tài)和經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)造成不可挽回的損失。這樣才促成美國(guó)下定決心。教師通過(guò)運(yùn)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，可以讓學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)的重要性。

參考文獻(xiàn):

[1]J.N.Kapur.數(shù)學(xué)家談數(shù)學(xué)本質(zhì).北京大學(xué)出版社，1989.

[2]A.N.Whitehead，Science and the Modern World.Cambridge University Press，1932.

[3]王樹(shù)禾.數(shù)學(xué)思想史[M].北京:國(guó)防工業(yè)出版社，2003.