圓形磁場中的一個重要結(jié)論及應(yīng)用

帶電粒子垂直進(jìn)入勻強磁場中，在洛倫茲力作用下，它將做勻速圓周運動。圓形有界磁場問題是考試的熱點和難點，弄清磁場圓和軌跡圓的關(guān)系是解決此類問題的關(guān)鍵。而當(dāng)帶電粒子的軌道半徑與磁場圓半徑相等時，又有其特殊的結(jié)論，下面舉例說明。

例1 如圖1所示，半徑為R的圓形有界磁場，ab、cd分別為其水平、豎直直徑。一束質(zhì)量為m，帶電量為+q的粒子，沿平行于ab的方向以相同的速度v0垂直進(jìn)入磁場。

試證明:若沿ba方向的粒子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后從c點飛出磁場，則所有粒子都將從c點飛出。

證明 因為沿ba方向運動的粒子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后從c點飛出磁場，所以粒子圓周運動的半徑r=R。

設(shè)帶電粒子從f點沿平行于ab方向入射，從e點飛出磁場。將磁場的圓心O和粒子圓周運動的圓心O′及e、f點連結(jié)構(gòu)成一個四邊形。由于四邊相等，所以該四邊形為菱形，因此eO∥O′f，eO⊥ab，即e點應(yīng)與c點重合。

點評 帶電粒子在有界磁場中的運動問題，首先要確定圓周運動的圓心，然后作出適當(dāng)?shù)妮o助線，再利用幾何知識求解。特別提醒:各邊相等的四邊形是菱形，當(dāng)然對邊互相平行。

結(jié)論 當(dāng)圓周運動的半徑與磁場圓的半徑相等時，所有平行入射的同類帶電粒子都會過與入射方向垂直的磁場圓直徑的一個端點。

推論 當(dāng)圓周運動的半徑與磁場圓的半徑相等時，從磁場邊界上某一點沿不同方向入射的同類帶電粒子，在離開磁場時速度方向互相平行。

例2 如圖3所示，真空中有以(r，0)為圓心，半徑為r的圓柱形勻強磁場區(qū)域，磁感應(yīng)強度大小為B，方向垂直于紙面向里。在y=r的上方足夠大的范圍內(nèi)，有水平向左的勻強電場，電場強度的大小為E。從O點向紙面內(nèi)所有各個方向發(fā)射速率相同的質(zhì)子，設(shè)質(zhì)子在磁場中的偏轉(zhuǎn)半徑也為r，已知質(zhì)子的電荷量為e，質(zhì)量為m，不計重力。求所有質(zhì)子中到達(dá)y軸正半軸的最大縱坐標(biāo)值。

解析 由例1所得結(jié)論可知:從O點向各個方向發(fā)射的質(zhì)子，在離開磁場后，速度都應(yīng)該沿+y方向，然后垂直進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場后，做類平拋運動。要使質(zhì)子到達(dá)y軸正半軸的縱坐標(biāo)最大，則應(yīng)使質(zhì)子在進(jìn)入電場時沿電場方向的距離最大，所以質(zhì)子在O點的速度方向應(yīng)該沿-y方向，經(jīng)過半圓后離開磁場，再進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場。

粒子沿電場方向的位移大小: