Copula方法對多變量股指期權定價的研究

摘 要:本文給出了完全市場條件下基于Bernstein Copula的多變量歐式期權的風險中性價格。然后將GARCH處理后的滬深兩市股指作為數(shù)據(jù)代入模型進行估計，并采用蒙特卡羅模擬方法對滬深兩市股指期權進行實證研究。

關鍵詞:多變量期權;Bernstein Copula;相關結構;蒙特卡羅模擬

中圖分類號:F830.9 文獻標識碼:A 文章編號:1003-5192(2010)06-0076-05

1 引言

當今金融市場上，多變量期權是對多元資產(chǎn)風險進行對沖的一種有效地工具，這些期權的價格和兩個或者多個標的資產(chǎn)有關。例如，基于若干標的股票的投資組合的組合期權(Basket Option)、比率期權和最大(小)期權以及基于一籃子外匯價格的浮動匯率的期權等等。

在Black-Scholes的多維幾何布朗運動的框架下[1]，Margrabe，Stulz，Johnson和Reiner等給出了基于相關系數(shù)的多變量期權的定價方法[2，3]。但是，Embrechts等人指出，除非這些資產(chǎn)的價格(收益)能夠很好地服從多維正態(tài)分布，否則相關系數(shù)不能準確地描述多個資產(chǎn)間的相關結構。因而Copula在多變量期權的定價領域也有廣泛的應用[4]。例如，Rosenberg在定價中采用Plackett Copula模型進行估計[5]，Cherubini和Luciano在Rosenberg的基礎上上對使用Copula類型進行了拓展[6]，而Rosenberg則在定價中引入半?yún)?shù)估計的Copula模型[7]。而在更一般的情況下，Cherubini等人給出了通過概率密度途徑對多變量期權進行定價的一般表達式[8]。但是該表達式只適于混合導數(shù)的形式比較簡單的情形(例如乘積Copula等)。因此，除了使用Monte Carlo(MC)模擬外，目前的大部分定價都是在Black-Scholes理論框架內(nèi)，假定滿足某種特定的Copula函數(shù)的條件下給出的[9~11]。

然而，Li等人指出Bernstein多項式Copula具有對微分運算封閉，并且能夠較好地逼近各種光滑的Copula等性質(zhì)[12]。因此我們考慮在Bernstein Copula多參數(shù)模型的基礎上，給出完全市場條件下多變量期權的風險中性定價的一般表達。然后將滬深股指通過GARCH處理后作為經(jīng)驗數(shù)據(jù)代入模型，得到Bernstein Copula的參數(shù)估計，并將模擬的股指期權的價格與基于Gauss型市場相關結構下股指期權的價格的Monte Carlo模擬進行比較。

2 Bernstein多項式和Bernstein Copula

3 基于Bernstein Copula的多變量期權的定價

從表2中的模擬結果我們可以看到，在給定參數(shù)值的情況下，Bernstein Copula模型定價和Gauss假設條件下的定價差異不大。其差異體現(xiàn)了兩種模型對滬深兩市股指的相關結構的擬合的差距，從擬合結果來看，BernsteinCopula具有更好的擬合優(yōu)度，因此依據(jù)該模型進行的Monte Carlo模擬結果更為準確。

5 結論

本文中我們考慮基于多個標底資產(chǎn)相關結構的多變量歐式期權，該期權的價格和連接函數(shù)Copula的選擇密切相關。由于Bernstein Copula能夠較好地逼近任何類型的Copula，從而可以描述絕大部分多個資產(chǎn)間的相關結構，并且其使用和表述比較方便。因而我們基于Bernstein Copula給出了完全市場條件下歐式期權的風險中性定價的一般表達式。然后將滬深兩市股指的數(shù)據(jù)代入模型對其相關結構進行擬合，最后在擬合結果的基礎上，采用Monte Carlo模擬方法將該模型的定價和基于Gauss型正態(tài)假設條件下的價格比較，從結果來看基于滬深兩市的股指期權的模擬兩者相差不太大，但是由于Bernstein Copula的擬合結果更好，因此其模型定價也更為準確。此外該方法可以很好地推廣到變量更多(如人民幣匯率期權)，形式更復雜(如美氏期權)的期權定價中去。

本文的實證研究結果對投資機構在做資產(chǎn)組合管理或者風險管理時有著很強的參考價值。例如對于一籃子標的的多期權產(chǎn)品，割裂的看待會導致風險度量的失真，應當考慮各期權的聯(lián)動性，獲得更真實的風險度量以進行風險管理和對沖。推廣到更一般的資產(chǎn)組合管理，Copula方法在對組合的風險度量上都有著積極的借鑒意義，值得推廣。

參 考 文 獻:

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