菜花\\大自然與分形

在我知道“分形理論”之前的日子里，菜花不過是一種美味而營養的蔬菜。如今，我每次見到菜花都會有點瞬間走神——沒錯，我又是愣在那里感嘆分形理論的絕妙巧思，感嘆自然世界的極致美感。

分形理論，于1975年由美籍著名學者曼德勃羅創立，是現代數學的一個新分支。“分形”的一大特點是“自相似性”，而對于并非數學專業的普通人來說，最直觀的理解方式莫過于觀察植物。比如說隨處可見，又可進行動手實驗的菜花，就是非常好的理解對象。當你把菜花買回家中，它是一整顆，結結實實，白白脆脆，但下鍋之前，你一定會將其掰成一小朵一小朵。此時，自相似結構就顯露出來，那“一小朵”與“一整顆”是多么相似啊，除了大小不同，幾乎是彼此的翻版。若你將整顆菜花與一小朵菜花放在沒有參照物的背景中分別拍攝兩張照片，估計還真難分出誰是“老大”。

自然界中的分形結構非常多見，比如人腦皮層、毛細血管分布、樹木枝干生長、葉子脈絡等等結構，因此分形理論也被譽為大自然的幾何學。對于分形理論的開創性意義，美國著名物理學家惠勒還有驚人之語：“今后誰不熟悉分形，誰就不能被稱為科學上的文化人。”

發現“碎片”中的規律

1973年，曼德勃羅在法蘭西學院的課堂上，首次提出了分維和分形幾何的設想。但分形(Fractal)一詞的產生卻是在兩年之后的一個夏日夜晚。那天，夜色如水，這般寂靜時刻是最適合冥思苦想的，曼德勃羅任思緒漫延，并隨手翻動他兒子的拉丁文字典，突然想到用Fractal概括他的最新理論。此詞源于拉丁文形容詞fractus，對應的拉丁文動詞是frangere(破碎)。此外與英文的fraction(碎片)及fragment(碎片)擁有相同的詞根。曼德勃羅是想用此詞來描述自然界中一大類復雜無規則的幾何對象，而這是傳統歐幾里德幾何學所不能描述的。例如，起伏不平的山脈、曲折復雜的海岸線、白衣蒼狗的浮云、九曲回腸的河流、橫縱交疊的血管、布滿繁星的夜空等。直觀地說，這些對象都是分形。它們所呈現的曲線是極不規則或極不光滑的，但我們又對它們有所判斷，比如看到手繪的“山”的圖畫，我們不會錯認為是河流，說明除了不規則之外，其中還有“規則”可循。

而對于“規則”的發現過程還要追溯到更早的1960年。曼德勃羅在研究棉價變化的長期形態時，發現了價格在大小尺度間的對稱性。在對尼羅河水位和著名的“英國海岸線”的數學分析中，同樣發現類似規律。經過大量研究之后，他發現了“大自然的秘密”——自然界中很多現象從標度變換角度表現出的對稱性。他將這類集合稱作自相似集，其嚴格定義可由相似映射給出，我們則可以通過上文中“菜花的故事”對“自相似集”進行形象的理解。曼德勃羅認為，傳統歐幾里德測度不能刻畫這類集的本質，轉向維數的研究，發現維數是尺度變換下的不變量，主張用維數來刻畫這類集合。1975年，曼德勃羅第一部分形幾何著作，也是20世紀突破歐幾里德幾何之作《分開：形狀、機遇和維數》出版。分形幾何建立以后，引起了許多學科的關注，因為它不僅在理論上，而且在實用上都具有重要價值。

“知識流浪漢”的大眾科學

近代的數學和物理遠離民眾的“生活世界”，它們以理想的狀態呈現，規則的點、線、面是科學家眼里理想的研究對象。然而，自然界里幾乎沒有理想對象，例如，地球不是球體，山嶺不是錐體，海岸線不是圓周，閃電也不沿著直線傳播。傳統科學家們“嚴肅冷酷，枯燥乏味”的研究工作無人理解。曼德勃羅的分形理論仿佛是科學與民眾之間的一道瑰麗彩虹，讓彼此兩岸連接成一。

他的獨特成就也與其人生經歷密切相關。作為哈佛大學的“數學實踐講座”教授的曼德勃羅，高中畢業后，沒考大學，選擇了過流浪生活，他“拎著一些破舊而過時的書籍，以他自己的方式學習著，自我猜測著許多事情，做任何事均不采取理性或者半理性的方式”。自稱為“知識的流浪漢”的曼德勃羅其研究方法更是獨具特色，他從不追趕前沿，而喜歡收集過期刊物，從中發現未被重視的真知灼見，在故紙堆中成就創新理論，真可謂“溫故而知新”的超級典范。

分形理論作為“科學另類”的研究成果，最初受到科學界的拒絕，之后卻成為一門橫斷學科，廣受歡迎。比如物理學中的布朗運動：在顯微鏡下觀察落入溶液中的一粒花粉，會看見它不間斷地作無規則運動(布朗運動)，這是花粉在大量液體分子的無規則碰撞(每秒鐘多達十億億次)下表現的平均行為。布朗粒子的軌跡，由各種尺寸的折線連成。只要有足夠的分辨率，就可以發現原以為是直線段的部分，其實由大量更小尺度的折線連成。對于折線連成的圖形，正是分形理論研究的對象，這無疑可以為研究布朗運動提供有效的計算模型。在物理學界，還將分形用于湍流和臨界現象；在生物學中，分形理論被用于分析細胞生長；在經濟學領域，分形則能分析股票價格走勢……

對于普通民眾，分形更以藝術的形式與他們進行形象、親切以及美的溝通。分形視覺藝術、分形音樂成為很多計算機藝術家探索的新領域。就連年輕人的T恤衫和街邊的海報上，也畫滿了分形圖案。只要你將分形藝術輸入搜索引擎，你就會看到極其瑰麗多姿，令人驚嘆的美麗畫面。曼德勃羅特別開心地表示，“科學不是被人保存在牛津劍橋或是常春藤學校里的，科學是給大眾的。”

分形，如果用復雜的數學符號去解釋，恐怕令很多普通人望而卻步，但當我們在準備晚餐、切開菜花的時候，想想關于自然世界的美妙構造，想想溝通科學，想想自然與大眾的科學家曼德勃羅的可愛性情，似乎科學也在萬家燈火與誘人飯香中散發出了親切的氣息。

責任編輯 林京