求解軌跡方程的去“雜”和堵“漏”

求滿足條件的動點的軌跡方程，是解析幾何的常見問題，大部分學生很容易忽視求出的方程要滿足完備性和純粹性，在實際解題中也不太會討論。下面我給出了求出點的軌跡方程后去“雜”堵“漏”的幾種常見情況。

一、利用三角形的頂點不共線去“雜”

例1:已知點A(-a，0)，B(a，0)，若△MAB是以點M為直角頂點的直角三角形，求頂點M的軌跡方程。

解:設M(x，y)，依題意得|MA|+|MB|=|AB|，

∴()+()=(2a)，

化簡得x+y=a。

∵△MAB的頂點M、A、B不共線，

∴M不能在x軸上，

∴x≠0。

故點M的軌跡方程為x+y=a(x≠0)。

二、利用直線的斜率必須存在去“雜”

例2:已知點A(-1，0)，B(1，0)，動點P使直線PA和PB的斜率之積為-2，求動點P的軌跡方程。

解:設P(x，y)，則k==，k==，

∴#8226;=-2，

化簡得2x+y=2。

∵直線PA和PB的斜率存在，

∴x≠±1。

故點P的軌跡方程為2x+y=2(x≠±1)。

三、利用點所在的區域范圍去“雜”

例3:已知點A、B分別在x、y軸的正半軸上運動，且|AB|=2a(a>0)，求AB中點M的軌跡方程。

解:設M(x，y)，由中點坐標公式得A(2x，0)，B(0，2y)。

∴=2a，

化簡得x+y=a。

∵點A、B分別在x、y軸的正半軸上，

∴點M在第一象限，即x>0，y>0，

故點M的軌跡方程為x+y=a(x>0且y>0)。

四、根據條件解不等式去“雜”

例4:在△ABC中，已知B(1，0)，C(5，0)，A點在x軸上方，且tanB+tanC=4，求頂點A的軌跡方程。

解:設A(x，y)，則tanB=k=，tanC=-k=-，

∴+(-)=4，

化簡得y=-x+6x-5。

∵A點在x軸上方，

∴y>0，

即-x+6x-5>0，

解得1

故頂點A的軌跡方程為y=-x+6x-5(1

五、討論點的特殊位置堵“漏”

例5:已知點B(-1，0)，C(1，0)，動點A使得∠BAC=135°，求點A的軌跡方程。

解:設A(x，y)，則k=，k=。

當點A在x軸上方時，直線AB到AC的角為135°，

∴tan135°===-1，

化簡得x+y+2y-1=0。

當點A在x軸下方時，直線AC到AB的角為135°，

∴tan135°===-1，

化簡得x+y-2y-1=0。

故點A的軌跡方程為x+y+2y-1=0(y>0)或x+y-2y-1=0(y<0)。

簡析:本題需要對點A的位置進行討論，才能避免漏掉一種情況。

六、討論直線斜率不存在堵“漏”

例6:△ABC中，已知B(-1，0)，C(1，0)，點A在第三象限，且∠B-∠C=45°，求頂點A的軌跡方程。

解:設A(x，y)(x<0，y<0)，則tanB=-k=-(x≠-1)，tanC=k=。

由∠B-∠C=45°，得tan(B-C)=tan45°，

∴tan(B-C)===1，

化簡得x-y-2xy-1=0。

當x=-1時，∠B=90°，

由∠B-∠C=45°，得∠C=45°。

此時△ABC為等腰直角三角形，A的坐標為(-1，-2)，符合題意，但不滿足方程x-y-2xy-1=0。

故點A的軌跡方程為x-y-2xy-1=0(x<0，y<0，x≠-1)和點(-1，-2)。