認知理論在高校工科數學教學中的應用

數學，作為一門重要的基礎課程，無論是其理論價值和實際應用，對后繼課程的學習均起著舉足輕重的作用。筆者通過在高校工科學校的數學教學的實踐，認為教師只有正確分析高校工科數學的特點和學生的實際，切實加強現代認知理論在數學教學中的應用，才能做好高校工科數學的教學工作。

1.問題的提出

1.1高校一、二年級學生的特點。

高校工科數學課一般在大學一年級或二年級上學期開設，授課時間為一年到一年半，每周六課時或五課時。作為高校一年級學生，剛從高中進入高校，對于教和學來說，存在兩方面的問題，一是學生的學習習慣問題。在初、高中六年間，學生一直忙于備考，教學幾乎以行為主義心理學，即“刺激—反應”學說為依據，教師通過仔細的講解、大量的練習，使學生達到熟能生巧的地步，學生一直在教師的直接、耐心、細致的指導下進行學習，尤其是高中階段，每個學生的習題集和試卷都是厚厚的一大摞，學生的學習已習慣于在教師的指導下進行，學習的目的很明確，就是為了應考。二是心理適應問題。進入高校，教學方式發生了根本性的變化，從“灌輸式”變為“放羊式”，學習主要靠學生的主體性來體現，一改過去強灌的做法，教學工作幾乎又在課堂進行，平時教師學生接觸較少，部分學生會出現無所適從的情況，還有一部分學生出現了“進入高校先放松一段時間，玩玩再說”的思想，時間一長就會出現學習困難的現象。

1.2高校工科數學課程的特點。

高校工科數學主要是作為一門基礎課開設的，其特點主要有:一是時間緊，在一年到一年半時間內要學完本專業將要使用的主要數學知識;二是任務重，課程內容包括高等數學的微積分(包括一元和多元)部分、空間解析幾何、線性代數、復變函數和積分變換及概率與數理統計等內容;三是應用程度高，學生對以上知識不僅要學懂、學會，還要善于在實際中解決問題，這就增加了教學與學習的難度。

1.3現代認知理論學習觀的主要內容。

現代認知理論主要是針對行為主義心理學的教學觀提出的，認為“刺激—反應”學說，不能充分考慮作為學習的主體——學生的情況，片面強調教的功能，忽視學生的實際情況和知識的接受過程，其代表人物是紐厄爾、西蒙等，主要內容有皮亞杰的“發生認識論原理”、奧蘇貝爾的“有意義學習”、布魯納的“結構主義”和加涅的“信息加工理論”等。它的研究對象就是運用信息加工理論研究認知活動，其研究范圍主要包括注意、知覺、心象、記憶、思維和語言等認知歷程，以及兒童的認知發展和人工智能，它的特點是:(1)強調知識對認知和行為的決定作用;(2)強調認知結構和歷程的整體性;(3)強調認知程序之一是產生式系統;(4)強調表征的標志性;(5)強調揭示認知歷程的內部心理機制等。

2.認知理論在高校數學教學中的應用

2.1關于概念教學。

概念是學科的基礎。數學概念的引入一般有兩種方法:一是概念形成，即由一組正例，通過觀察、抽象，概括出本質屬性;二是概念同化，即利用認知結構中已有的概念與新概念的相互作用，從而獲得概念。在高校工科數學中，概念的引入主要是通過概念同化，這就要求教師要充分了解學生頭腦中已有的認知結構，分析新舊概念之間的異同，促進學生較好地同化或順應新的概念。其教學模式一般有:

例如，線性代數中“n維向量”的概念，當n≥4時，在現實生活中就無原型可找，只有靠概念同化，學生此時已學過二維、三維向量的概念，教師此時要了解學生頭腦中原有的認知結構(即二維、三維向量)，幫助學生及時同化，形成新的認知結構(即n維向量的概念)。

2.2關于問題解決。

問題是數學的心臟。這里的“問題”不僅是包括現成的數學問題，還包括來自實際中的問題;不僅包括常規問題，還包括非常規問題(如開放性問題、數學建模等)。

2.2.1解題策略

解題策略是解題的關鍵，其經典莫過于波利亞的《怎樣解題表》他在書中列出的常用解題策略有:(1)回到定義去:這是在解題陷入困境時有助于我們擺脫困境的一個方法，因為麻煩很可能就是由于我們還沒有充分理解問題中的那些基本問句的意義;(2)問題的重新表述:例如“代數化”“方程化”就是很好的問題重新表述，“數形結合”也是一種行之有效的問題重新表述方法;(3)分解與重新組合:例如在多元函數重積分計算時，通過適當的變形，如變換積分次序，化為極坐標等是很有效的方法;(4)特殊化方法:就是從一組給定的對象集合過渡到考慮該集合中一個較小集合或僅僅一個對象;(5)一般化方法:就是從一個較小集合或僅僅一個對象到一組對象集合的過渡;(6)類比:即由特殊到特殊的思維過程，在高校工科數學中，可建立平面解析幾何和空間解析幾何的類比、一元微積分和多元微積分的類比、實變函數與復變函數的類比等。

2.2.2模式識別

在解題過程中，模式識別非常重要，它能起到事半功倍的作用。高校工科數學教材中，多數知識是通過定義、定理，然后給出例題來表述的，但有些是直接通過典型例題來給出的，如復變函數中的圍道積分問題，就是通過幾個例題來講的，這就需要教師在講課時分析每一步的意思、解題的思路、模式的應用等。

2.2.3元認知與自我監控

元認知就是個人對其自身的認識過程進行自我反省、自我監控和自我調節，即對認知的認知，也就是把自己考慮的對象放在自身的認識上進行一番自省。在數學教學過程中，筆者發現，學生在解題時普遍不善于自我反省，會做的題目做完了事，不會做的題目置之不理，或索性抄一下答案。由于學生已經進入高校，因此，教師更應該培養學生的元認知能力。例如，在教學復變函數中的“初等解析函數”一節，學生在解題時，要么生搬硬套，要么以實變函數的形式來解決，忽視了在解題過程中對研究對象的具體分析。筆者在教學過程，要求學生在學完一章或一節后，對學習過程進行小節，理順線索，歸納方法，對典型例題和習題尋找規律，要求學生按照波利亞的《怎樣解題表》提出的解題思路思考問題，不斷進行調整與修正，適時對自己的解題思路進行反思，反對就題論題。在講授過程中，筆者也注重對問題的分析與理解，重點講述解題思路，而具體解法則由學生自己完成。

3.非認知因素的參與

以上著重講了認知理論在高校數學教學的概念學習和解題策略中的應用，除此之外，有關非認知因素在教學中的作用也同樣不可忽視，如學生的動機、興趣、情感、意志、性格等，這些方面對數學教學與學習有著較大的“動力功能”，應引起足夠的重視。

4.數學思想、數學方法論的滲透

數學教學，不僅要傳授一定的知識，更應該傳授數學的思想和方法，尤其對高校學生來說，站在方法論和哲學的高度來看問題，會學得更深更透。