關(guān)于輔助線的畫法淺探

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師一方面揭示概念、定理、公式、法則的實(shí)際內(nèi)容，另一方面發(fā)揮著數(shù)學(xué)的高度抽象的特點(diǎn)，使學(xué)生深刻理解抽象內(nèi)容的實(shí)質(zhì)與形成，給學(xué)生在數(shù)學(xué)的應(yīng)用能力上打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，并且逐步使他們在分析、概括、抽象等能力上得到充分的培養(yǎng)。邏輯上的嚴(yán)密性是數(shù)學(xué)的一個突出特點(diǎn)。培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和創(chuàng)造性思維能力，其意義不僅在于為他們學(xué)好數(shù)學(xué)打基礎(chǔ)，更是為他們能具有處理任何問題、開發(fā)新思維這項(xiàng)能力打下基礎(chǔ)。邏輯思維能力和創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)體現(xiàn)在推理證明和添置輔助線的作法上，它能培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的觀察、想象與表達(dá)幾何形象的空間想象能力。如何添置輔助線來幫助解決問題是一個難點(diǎn)，下面我就這個問題進(jìn)行一些探討。

一、添置輔助線及其作用

學(xué)生在思維時要做到概念明確、判斷恰當(dāng)、推理有邏輯性、論證有說服力，這是最起碼的要求。因此在教學(xué)中，教師必須加強(qiáng)學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)，使學(xué)生發(fā)揮想象能力，正確地添置輔助線;學(xué)生必須準(zhǔn)確牢固地掌握概念及定理的來龍去脈，同時還要理解添置輔助線的作用。

輔助線起著連接推理步驟的橋梁作用，使思維借助直觀而增加其形象性。其作用具體可歸納為四個方面:

(一)變位

將已知線段、直線或角改變原來位置，便于找出圖形間的內(nèi)在聯(lián)系。

例1:求證對角線相等的梯形是等腰梯形。

如圖1，我們可作DE∥AC交BC的延長線E。

(二)轉(zhuǎn)換

將已知條件轉(zhuǎn)換為輔助線的性質(zhì)，從而建立圖形間的新聯(lián)系。

例2:已知AD、BC為平行線，AB為其間的斜線，AC為BC的垂線，引直線BED交AC于E，交AD于D，且ED=2AB，如圖2。

求證:∠DBC=∠ABC。

分析:O是ED的中點(diǎn)，連結(jié)AO。

∴AO=ED

∴OA=AB

∵∠3=2∠4，∠2=∠3

∴∠2=2∠4

∴∠ABC=3∠DBC。

(三)關(guān)聯(lián)

將分散的條件集中起來，以輔助線為媒介，取得聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)圖形間的內(nèi)在聯(lián)系。

例3:已知四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，延長BA、CD與直線EF交成∠1與∠2，如圖3。

求證:∠1=∠2。

分析:可連結(jié)AC，G為AC的中點(diǎn)，再連結(jié)FG、EG，

∴∠2=∠3，∠1=∠4，∠3=∠4

∴∠1=∠2。

(四)構(gòu)形

通過輔助線將已知圖形構(gòu)成新的圖形，從而可以利用新的圖的性質(zhì)進(jìn)行推證。

例4:已知△ABC的內(nèi)角平分線AD延長后，交外接圓于E，如圖4。

求證:AB∶AD=AE∶AC。

分析:連結(jié)CE，

∴∠E=∠B，∠1=∠2

∴△ABC∽△AEC

∴=

∴=

即=。

二、輔助線的作法及其尋求方法

在教學(xué)中，教師要使學(xué)生對所學(xué)知識的應(yīng)用形成技能和技巧。就是在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生能運(yùn)用所學(xué)的知識自覺地完成某種活動，這就形成了相應(yīng)的技能，而技能再經(jīng)過系統(tǒng)、反復(fù)的練習(xí)，達(dá)到熟練的程度，便形成了技巧。學(xué)生只有掌握應(yīng)用的技能和技巧，才能進(jìn)一步學(xué)得知識。因此，學(xué)生還要掌握輔助線的作法類型和輔助線的尋求方法。

(一)輔助線的作法類型

1.連結(jié)法(包括先取點(diǎn)再連結(jié))

例如，三角形的中線、中位線，四邊形的對角線，圓的半徑和弦相交，兩圓的公共弦等。

2.延截法

有關(guān)中線的問題多用此法。例如，延長一線段與已知直線相交，得到新圖形，或者延長并截取一線段等于已知線段等。

3.過線外一點(diǎn)作平行線

如平行移動一線段構(gòu)成三角形或平行四邊形，梯形的對角線或腰，作平行線形成比例線段或相似形等。

4.作垂線

如作三角形的高，由角平分線上的點(diǎn)向邊作垂線，或作角平分線的垂線，作梯形的高，圓的弦心距，過半徑的外端作切線等。

5.作角的平分線

利用其對稱性質(zhì)。

6.作一個角等于已知角

如已知直線為一邊作一角等于已知角，在圓弧上取一點(diǎn)作圓周角或弦切角。

7.作兩圓的公切線

(二)輔助線的尋求方法

在掌握輔助線的基本作法后，輔助線的尋求就基本有法可循了。思維方法一般有三種情況:

1.綜合法

從已知條件出發(fā)，根據(jù)給出的圖形的基本性質(zhì)選擇輔助線。

例5:已知△ABC的兩高是BD、CE，外接圓中心是O，如圖5。

求證:AO⊥DE。

分析:過A作⊙O的切線。

∵AF⊥OA，只要DE∥AF即可。

從圖上可知B、C、D、E四點(diǎn)共圓。

∴∠2=∠BCD，且∠1=∠BCA

∴∠2=∠1

∴AF∥ED

∴AO⊥ED。

2.分析法

從結(jié)論出發(fā)尋求證題思路，相應(yīng)地作出需要的輔助線，如上面的圖4的題目。

3.利用圖形的變換尋求輔助線

(1)平移

將已知線段平移構(gòu)成平行四邊形。如圖1的題目。

(2)對稱變換

軸對稱(反射)，中心對稱。角平分線的問題很多時候都會用到反射的知識。

例6:在直線的同旁有兩點(diǎn)，如圖6，求在直線上一點(diǎn)到這兩點(diǎn)的距離最小。就是選出A的對稱點(diǎn)A，連結(jié)AB就得到與直線相交的點(diǎn)P。

(3)旋轉(zhuǎn)。特別適用于正方形、正三角形一類有關(guān)的題目。

例7:已知P為正△ABC外接圓劣弧BC上一點(diǎn)，如圖7。

求證:PB+PC=PA。

分析:若△ABP以A為中心旋轉(zhuǎn)60°即可證明。

添置輔助線的問題對于培養(yǎng)學(xué)生思維能力，空間想象能力和開發(fā)創(chuàng)造性思維能力有著重要的意義和作用，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)所擔(dān)負(fù)的發(fā)展學(xué)生邏輯思維能力這個任務(wù)是十分重要，而發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維也很艱難，但我們只要善于探索，不懈努力，就會取得豐碩的果實(shí)。