高中數學與高等數學在極限教學方面的銜接

摘 要: 高中數學與高等數學在“極限”這一知識上出現了交叉點。在這個交叉點上，高等數學教學應該區別于高中所學的內容，避免不必要的重復。本文就高中數學與高等數學在極限教學的銜接問題進行了分析與闡述。

關鍵詞: 高中數學 高等數學 極限

現在的高中數學教材中有關于數列極限、函數的極限、極限的四則運算、函數連續性的知識，高考中也有相關的試題。高等數學的第一章也是極限。就教材的內容來說，在這一部分，高等數學教材的內容跟高中教材大體一樣。如果我們僅僅按照教材來進行教學，就會使得教學內容出現不必要的重復，學生會對這門學科的價值產生懷疑。那么作為高等數學中第一塊知識，其思想貫穿于高等數學教學始終的極限部分，我們在教學中應注重哪些方面呢?高中階段在這一部分的教學更多的是注重概念、計算方面的教學。到大學階段，前面兩者可以弱化，我們應注重這樣幾方面的教學:

1.極限思想的發展史

我國古代哲學名著《莊子》記載著莊子的朋友惠施的一句話:“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”其含義是:長為一尺的木棒，第一天截取它的一半，第二天截取剩下的一半，這樣的過程無窮無盡地進行下去。隨著天數的增多，所剩下的木棒越來越短，截取量也越來越小，無限地接近于0，但永遠不會等于0。

1700年前，我國偉大的數學家劉徽提出了割圓術:“割之彌細，失之彌少，割之又割，以至于不能割。”也就是用圓的內接n邊形周長逼近圓周，當n無限增大時，n邊形越來越接近圓周，相應的n邊形周長越來越接近圓的周長，也就是n邊形周長的極限為圓的周長的精確值。

17世紀，牛頓、萊布尼茨在總結了大量數學家的成果之后，分別獨立地創立了微積分，并很快地應用到實際問題中，大大地推動了當時的科技和經濟的發展。但當時的微積分理論基礎是建立在有邏輯矛盾的無窮小概念上，所以十分不穩固。當時，牛頓把變量稱為流量，流量的微小改變量稱作為瞬，也就是無窮小量。牛頓認為瞬是非零的改變量，但在他的一些文章中又有“被它乘的那些項可以算作沒有”，前后顯然矛盾。這也就是數學史上的第二次危機。之后，法國數學家柯西創立了極限理論，理論中給出了“以零為極限的變量為無窮小量”的精確定義。隨之，德國數學家魏爾斯特拉斯建立了純粹數學運算的極限理論。到這時，第二次數學危機終于被消除了。

2.極限思想方法的應用

應用極限思想方法解決問題一的般思路是:對需計算的未知量，先構造一個與之有關的變量，而這個變量的極限剛好是未知量的精確值，然后取這一變量的極限，從而得到這一精確值。總的框架是將動態問題通過在局部范圍內不變代變轉化為靜態問題，然后將靜態問題通過初等數學方法解出未知量的近似值，最后通過無限變化即取極限得出動態問題的精確值。下面從微積分中的導數、定積分概念的引入進行闡述。

1.求變速直線運動的瞬時速度

設物體沿直線運動，s為物體從某一選定時刻到時刻t的路程，則s是t的一個函數s=s(t)。需要確定物體在某一時刻t的瞬時速度v(t)。我們可以將這樣一個變速運動動態問題在局部內近似的看成勻速運動，即是v(t)≈。通過初等方法得出=，當△t充分小時，速度來不及發生多大的改變，也就是△t越小，越接近v(t)，所以根據極限的定義v(t)==。

2.曲邊梯形面積的求法

設函數y=f(x)在區間[a，b]上連續，當x∈[a，b]時f(x)≥0。由曲線y=f(x)，直線x=a，x=b與x軸圍成的平面圖形稱為曲邊梯形面積。要求此曲邊梯形面積。首先在區間[a，b]中任意插入n-1個分點a=x

3.極限中所蘊含的哲學思想

極限蘊涵了矛盾對立統一法則。取極限的最終結果，變量轉化成常量，體現了變與不變、運動與靜止、近似與精確的對立與統一規律。同時，取極限，使變量轉化為常量、近似值轉化為精確值，體現了量變到質變的規律。

參考文獻:

[1]同濟大學應用數學系.高等數學及其應用(上冊)[M].北京:高等教育出版社，2004.

[2]傅葦.極限、導數、定積分概念所蘊涵的數學思想方法剖析[J].重慶科技學院學報(自然科學版)，2005，(12).