從一道中考題談起

麗水市2009年數學中考選擇題第10題。如圖:

已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的頂點在相互平行的三條直線l，l，l上，且l，l之間的距離為2，l，l之間的距離為3，則AC的長是()。

A.2 B.2

C.4D.7

這道選擇題是有點難度的，需要學生作相應的輔助線，才能理清思路。如下圖:過A，C兩點作垂直于直線l的兩條輔助線段AE，CF。有這兩條輔助線后，相信只要知道直角三角形全等判定定理的學生都可以得到Rt△AEB≌Rt△BFC，所以有EB=CF，由勾股定理可以求得:

AB===，

AC===2。

所以這道選擇題正確答案為A。

這道題目最終得以解決，用到了直角三角形的全等的判定，同時運用了兩次勾股定理。有趣的是這道題本身還蘊含著勾股定理證明的一種方法，如果將上圖中的直角梯形拿出來得到如下圖形:兩個全等直角三角形Rt△ABC，Rt△BEF，兩條直角邊在同一條直線上，連接頂點A，E，構成一個直角梯形。

設直角三角形的三條邊長分別為a，b，c，

顯然S=(a+b)(a+b)=(a+2ab+b)，

又S=S+S+S=ab+ab+c=(2ab+c)。

比較以上二式，便得a+b=c。

這一證明由于用了梯形面積公式和三角形面積公式，證明相當簡潔。據說這個證明方法是美國第二十任總統伽菲爾德證明的。后來，人們為了紀念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為勾股定理的“總統”證法。這在數學史上被傳為佳話。

關于勾股定理的證明古代中國和古希臘的兩個證明同樣十分簡潔，十分精彩。

1.中國方法

由邊長分別為a，b，c的四個直角三角形構成一正方形，如圖，其中a、b為直角邊，c為斜邊。

由圖:正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab;中間的小正方形邊長為b-a，則面積為(b-a)。于是便可得如下的式子:

4×ab+(b-a)=c。

化簡后便可得:a+b=c。

這就是初中幾何教科書中所介紹的方法。這個對勾股定理進行證明的方法，據說是三國時期吳國的數學家趙爽所給出的方法。

2.古希臘方法

直角三角形三邊AB=c，AC=b，BC=a直接在直角三角形三邊上畫正方形，如圖:

容易看出，△ABA′≌△AA″C。

過C向A″B″引垂線，交AB于C′，交A″B″于C″。

△ABA′與正方形ACDA′同底等高，前者面積為后者面積的一半，△AA″C與矩形AA″C″C′同底等高，前者的面積也是后者的一半。由△ABA′≌△AA″C，知正方形ACDA′的面積等于矩形AA″C″C′的面積。同理可得正方形BB′EC的面積等于矩形B″BC″C′的面積。

于是，S=S+S，

即a+b=c。

這里只用到簡單的面積關系，不涉及三角形和矩形的面積公式。這就是希臘古代數學家歐幾里得在其《幾何原本》中的證法。

在歐幾里得的證明方法中，以直角三角形三邊為邊作正方形，證明直角邊上兩個正方形的面積和等于斜邊上的即可。其實勾股定理公式也可以變形為λa=λb+λc，也就是說，對任何相似形這個結論都等價。只要證明了勾股定理，就表明對任何相似形都成立。逆轉過來看，只要對任一相似形證明等式的成立，就證明了勾股定理。

現在看上面這個圖，圖中隱藏了三個相似三角形，它們分別可以看作從直角三角形三邊往里作出的相似形。又由于兩個小三角形加起來等于那一個大三角形，因而勾股定理得證。