關(guān)于等效單擺周期公式的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)

單擺是高中階段所要處理的一種重要的理想化的物理模型，它由理想化的擺球和擺線組成：1.擺線是質(zhì)量不計(jì)、沒有伸縮的無彈力細(xì)線；2.擺球密度足夠大，且半徑比擺線的長(zhǎng)度小得多，即可以將其看作是有質(zhì)量而沒有大小、形狀的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)；3.單擺在擺動(dòng)的過程中不考慮空氣阻力的影響，即認(rèn)為單擺是一種無阻尼的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。因此我們?cè)谕茖?dǎo)單擺的周期公式T=2π時(shí)要滿足α＜10°（有的教參上是5°）的條件下，可以通過簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的通用周期公式T=2π推導(dǎo)出單擺的周期公式。

從推導(dǎo)的單擺公式中可以看出：?jiǎn)螖[的周期與振幅和擺球質(zhì)量無關(guān)。因?yàn)閺牧W(xué)的角度分析，單擺的回復(fù)力是重力沿圓弧切線方向并且指向平衡位置的一個(gè)分力，偏角越大，回復(fù)力越大，加速度(gsinα)也就越大，在相等時(shí)間力走過的弧長(zhǎng)也越大，所以周期與振幅、質(zhì)量無關(guān)，只與擺長(zhǎng)L和重力加速度g有關(guān)。在有些振動(dòng)系統(tǒng)中L不一定是繩長(zhǎng)，g也不一定為9.8 m/s，因此出現(xiàn)了等效擺長(zhǎng)和等效重力加速度的問題。

物理上有些問題與單擺類似，經(jīng)過一些等效思想的處理可以套用單擺的周期公式，這類問題統(tǒng)稱為“等效單擺”。等效單擺在生活中比較常見，本文主要講述等效單擺在一些問題中的應(yīng)用。

一、等效單擺

等效單擺分等效擺長(zhǎng)單擺L′、等效重力加速度單擺g′，以及擺長(zhǎng)、重力加速度雙重等效單擺三種情況。等效單擺的周期公式為T=2π。

1.等效擺長(zhǎng)單擺。

等效擺長(zhǎng)L′不再是懸點(diǎn)到擺球球心的距離，而是指擺動(dòng)圓弧的圓心到擺球重心的距離，擺動(dòng)圓弧的圓心即為等效單擺的懸點(diǎn)。

例1：雙線擺由兩根長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線下端栓一質(zhì)量為m的小球構(gòu)成，如圖1所示，兩線夾角為2α，今使擺球在垂直紙面的平面內(nèi)作小幅度擺動(dòng)，求其周期。

解析：當(dāng)雙線擺在垂直紙面的平面內(nèi)作小幅度擺動(dòng)時(shí)可以等效為以AB的中心為懸點(diǎn)， OO′長(zhǎng)為擺長(zhǎng)的單擺，其等效擺長(zhǎng)為L(zhǎng)′＝Lcosα，故此擺周期為：T=2π。

2.等效重力加速度單擺g′。

該類單擺的等效重力加速度g′≠g，但擺長(zhǎng)仍為懸點(diǎn)到球心的距離。等效重力加速度g′與單擺所在的空間位置、單擺系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和單擺所處的物理環(huán)境有關(guān)。

（1）公式中的g′由單擺所在的位置離星球海平面的高度決定，由萬有引力公式推導(dǎo)出g′＝G知，g′隨地球表面不同位置、不同高度而變化，且在不同的星球上也不相同，在同星球上不同緯度高度也不相同，因此應(yīng)求出單擺所在處的等效值g′代入公式，即g不一定等于9.8m/s，9.8m/s僅僅指在地球的赤道上的重力加速度。

（2）g′由單擺系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)決定，“等效重力加速度”等于擺球處于平衡位置不振動(dòng)時(shí)，等效擺長(zhǎng)“繩子”上拉力對(duì)擺球產(chǎn)生的加速度。具體求法：等效重力加速度g′等于擺球相對(duì)系統(tǒng)靜止在平衡位置時(shí)擺線的張力（視重）T與擺球質(zhì)量m的比值，即g′＝。

例2：如圖2所示，將擺長(zhǎng)為L(zhǎng)的單擺放在一升降機(jī)中，若升降機(jī)以加速度a向上運(yùn)加速運(yùn)動(dòng)，求單擺的擺動(dòng)周期。

解析：?jiǎn)螖[的平衡位置在豎直位置，若擺球相對(duì)升降機(jī)靜止，則單擺受重力mg和繩拉力F，根據(jù)牛頓第二定律：F－mg＝ma，此時(shí)擺球的實(shí)重mg′＝F＝m(g＋a)，所以單擺的等效重力加速度g′＝F/m＝g＋a，因而單擺的周期為T=2π=2π。

拓展：如圖3（a）所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩一端系一質(zhì)量為m的小球，掛于小車支架上的O點(diǎn)，當(dāng)小車以加速度a向右加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，將小球拉離平衡位置α（＜10°）由靜止釋放，求其周期。

圖3（a) 圖3（b)

解析：當(dāng)小球相對(duì)小車靜止時(shí)，擺球的平衡位置偏離豎直θ角，如圖3（b）中A點(diǎn)為擺球的平衡位置，擺球相對(duì)車靜止在平衡位置時(shí)，繩子拉力為F，則由牛頓第二定律：

Fcosθ＝mg ①

Fsinθ＝ma ②

解得F＝m。

懸線拉力產(chǎn)生的加速度，即等效重力加速度g′＝，

所以：T=2π。

（3）g′還由單擺所處的物理環(huán)境決定，如帶點(diǎn)小球做成單擺在豎直方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，回復(fù)力應(yīng)是重力和電場(chǎng)力的合力在圓弧切線方向的分力，所以也有一個(gè)等效重力加速度的問題。

例3：如圖4所示，擺長(zhǎng)為L(zhǎng)的單擺，小球質(zhì)量為m，帶正電荷，電荷量為 q，處在水平向右的場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，擺球靜止時(shí)所在平衡位置偏離豎直θ角（tanθ＝），現(xiàn)將小球拉離平衡位置α（＜10°）由靜止釋放，求其周期。

解析：由平衡條件，當(dāng)小球靜止在平衡位置時(shí)，擺線的張力F=mg′=，等效重力加速度g′＝/m。所以：T=。

3.擺長(zhǎng)、加速度雙等效單擺。

例4：如圖5是記錄地震裝置的水平擺示意圖，擺球m固定在邊長(zhǎng)L、質(zhì)量可忽略的等邊三角形頂點(diǎn)A處，它的對(duì)邊BC與豎直線成不大的角θ，擺球可沿固定軸BC擺動(dòng)，則擺球做微小振動(dòng)的周期是多少？

解析：當(dāng)m做微小擺動(dòng)時(shí)，實(shí)際上圍繞BC中點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，所以等效擺長(zhǎng)應(yīng)是L′＝Lsin60°＝L。

當(dāng)擺球處于平衡位置且不擺動(dòng)時(shí)，沿OA方向的等效拉力F＝mgsinθ＝mg′，即g′＝gsinθ。故擺球的振動(dòng)周期T=2π。

二、單擺模型在其它問題中的應(yīng)用

在處理物理問題時(shí)，最好將生活的實(shí)例轉(zhuǎn)化為我們熟悉的物理模型，通過構(gòu)建物理模型，應(yīng)用熟悉的模型所遵循的規(guī)律解答問題是一種最常用的方法，而單擺模型常可以用于解決其它力學(xué)問題。

例5：如圖6（a）所示，A、B為固定在輕桿中點(diǎn)和一個(gè)端點(diǎn)的兩個(gè)小球，桿可繞O點(diǎn)無摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)，將輕桿從圖中水平位置由靜止釋放，在輕桿下落到豎直位置的過程中（ ）。

A.兩球各自的機(jī)械能均守恒

B.桿、球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒

C.A球機(jī)械能的增加等于B球機(jī)械能的減少

D.A球機(jī)械能的減少等于B球機(jī)械能的增加

圖6（a） 圖6（b）

解析：構(gòu)建單擺物理模型，令OA和OB各構(gòu)成一個(gè)單擺如圖6（b）所示，則A球的周期比B球的周期小，A球先擺到豎直位置，由此可推知，在本題中A球通過桿對(duì)B球做正功，A球的機(jī)械能減少，B球的機(jī)械能增加，桿、球系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。故選項(xiàng)B、D正確。