求極限的幾種常用方法

摘 要： 極限是高等數學中最基本、最重要的概念之一。其中求極限又作為學習極限問題的基礎。本文歸納出幾種求極限的常用方法，以供參考。

關鍵詞： 函數 求極限 常用方法

極限這一概念是整個高等數學中的基礎概念之一。在給定函數（或數列）的極限存在的前提下求極限的方法又作為學習極限問題的基礎。筆者在此總結出高等數學中求極限的幾種常用方法。

一、利用極限四則運算法則求極限

函數極限的四則運算法則：設有函數，若在自變量f（x），g（x）的同一變化過程中，有limf（x）=A，limg（x）=B，則

lim［f（x）±g（x）］=limf（x）±limg（x）=A±B

lim［f（x）·g（x）］=limf（x）·limg（x）=A·B

lim==（B≠0）

（類似的有數列極限四則運算法則）現以討論函數為例。

對于和、差、積、商形式的函數求極限，自然會想到極限四則運算法則，但使用這些法則，往往要根據具體的函數特點，先對函數做某些恒等變形或化簡，再使用極限的四則運算法則。方法有：

1.直接代入法

對于初等函數f（x）的極限f（x），若f（x）在x點處的函數值f（x）存在，則f（x）=f（x）。

直接代入法的本質就是只要將x=x代入函數表達式，若有意義，其極限就是該函數值。

例1：求極限（x+3）。

解：（x+3）=2+3=7。

2.無窮大與無窮小的轉換法

在相同的變化過程中，若變量不取零值，則變量為無窮大量?圳它的倒數為無窮小量。對于某些特殊極限可運用無窮大與無窮小的互為倒數關系解決。

（1）當分母的極限是“0”，而分子的極限不是“0”時，不能直接用極限的商的運算法則，而應利用無窮大與無窮小的互為倒數的關系，先求其的極限，從而得出f（x）的極限。

例2：求。

解：∵==0

∴=∞。

（2）當分母的極限為∞，分子是常量時，則f（x）極限為0。

例3：求。

解：=0。

3.除以適當無窮大法

對于極限是“”型，不能直接用極限的商的運算法則，必須先將分母和分子同時除以一個適當的無窮大量x。

例4：計算。

解：===3。

一般情形有如下結論：

設a≠0，b≠0，m，n是正整數，則

=0，當n＞m時，當n=m時∞，當n＜m時。

4.有理化法

適用于帶根式的極限。

例5：計算（-）。

解：（-）=

==0。

二、利用夾逼準則求極限

函數極限的夾逼定理：設函數f（x），g（x），h（x），在x的某一去心鄰域內（或|x|＞N）有定義，若①f（x）≤g（x）≤h（x）；②f（x）=h（x）=A（或f（x）=h（x）=A），則g（x）（或g（x））存在，且g（x）=A（或g（x）=A）。（類似的可以得數列極限的夾逼定理）

利用夾逼準則關鍵在于選用合適的不等式。

例6：計算x［］。

解：當x＞0時，有1-x＜x［］≤1，利用夾逼準則，有（1-x）=1，所以有x［］=1。

三、利用單調有界準則求極限

單調有界準則：單調有界數列必有極限。

首先常用數學歸納法討論數列的單調性和有界性，再求解方程，可求出極限。

例7：證明數列，，，…有極限，并求其極限。

證明：（1）先證數列有界，易知{x}遞增，且x≥，

用數學歸納法證明x≤2，顯然x=＜2，

若x≤2，則x=≤=2。

（2）再證數列單調增加x-x=-x==。

利用（1） 0＜x＜2?圯x-x＞0。

（3）利用單調有界收斂準則，x=a。

（4）由x=，x=2+x。

在等式兩端取極限，得a=2+a，求得a=2或a=-1（明顯不合要求，舍去）

所以x=2。

四、利用等價無窮小代換求極限

常見等價無窮小量的例子有：當x→0時，sinx～x；tanx～x；1-cosx～x；e-1～x；ln（1+x）～x；arcsinx～x；arctanx～x；（1+x）-1～x。

等價無窮小的代換定理：設α（x），α′（x），β（x）和β′（x）都是自變量x在同一變化過程中的無窮小，且α（x）～α′（x），β（x）～β′（x），lim存在，則lim=lim。

例8：計算。

解：利用等價無窮小代換，

有===。

注：當分母或分子是兩個等價無窮小相減時，不可簡單地用各自的等價無窮小代換，否則將導致錯誤的結果，從另一個角度，等價無窮小代換適宜在乘積和商中進行，不宜在加減運算中簡單代換。

例如：因為x→0時，tanx～x，sinx～x，有==0。

上式出現錯誤的原因是當x→0時，盡管tanx～x，sinx～x，但tanx與sinx（x→0）趨于零的速度只能近似相等，但不完全相等。

五、利用無窮小量性質求極限

在無窮小量性質中，特別是利用無窮小量與有界變量的乘積仍是無窮小量的性質求極限。

例9：計算xsin。

解：當x→0時，x是無窮小量，由|sin|≤1，即sin是有界量，故xsin是無窮小量，于是xsin=0。

六、利用兩個重要極限求極限

使用兩個重要極限=1和（1+)=e求極限時，關鍵在于對所給的函數或數列作適當的變形，使之具有相應的形式，有時也可通過變量替換使問題簡化。

例10：計算。

解：===2。

例11：計算（）。

解：（）=［（1+）］=e。

七、利用洛必達法則求極限

如果當x→a（或x→∞）時，兩個函數f（x）與g（x）都趨于零或趨于無窮小，則可能存在，也可能不存在，通常將這類極限分別稱為“”型或“”型未定式，對于該類極限一般不能運用極限運算法則，但可以利用洛必達法則求極限。

洛必達法則：

設（1）極限為型或型未定式；

（2）f（x），g（x）在某去心鄰域（x）或|x|＞X時可導，且g′（x）≠0；

（3）存在或為無窮小，則=。

其他未定式，如“0·∞”型、“∞-∞”型、“1”型、“0”型、“∞”型，不能直接用洛必達法則，需轉為“”型或“”型后再用洛必達法則。

例12：計算。（型）

解：==2。

例18：計算（sinx）。（0型）

解：（sinx）=e=e=e=e=e=e=1。

八、利用泰勒公式求極限

如果函數f（x）在含有x的某個開區間（a，b）內具有直到n階的導數，則當x在（a，b）內時恒有f（x）=f（x）+f′（x）（x-x）+（x-x）+…+（x-x）+o［（x-x）］（x→x），

其中o［（x-x）］稱為皮亞諾余項，當x=0時，上述等式稱為麥克勞林公式。

對某些較復雜的求極限問題，可利用麥克勞林公式加以解決。

例19：計算。

解：=

==。

在用泰勒公式求極限時，我們應當靈活應用分清哪些項需要展開，哪些項可以保留。對于復雜函數的極限，泰勒公式是一個有力且有效的工具。

九、利用定積分定義求極限

若遇到某些求和式極限問題，能夠將其表示為某個可積函數的積分和，就能用定積分來求極限，關鍵在于根據所給和式確定被積函數，以及積分區間。

例15：計算sin+sin+…+sinπ。

解：原式=sin+sin+…+sinπ+sinπ=?蘩sinπxdx=［cosπx］=。

從上述的介紹中可以看出求極限的方法不拘一格，我們應具體問題具體分析，不能機械地用某種方法，對具體題目要注意觀察，有時解題可多種方法混合使用，要學會靈活運用。

參考文獻：

［1］同濟大學應用數學系.高等數學（第五版）（上）［M］.北京：高等教育出版社，2002.

［2］華東師范大學數學系.數學分析（第三版）（上）［M］.北京：高等教育出版社，2001.