通過兩個(gè)典型例題學(xué)會(huì)解決有條件排列組合問題方法

解答排列組合的問題，首先，必須認(rèn)真審題，明確是屬于排列問題還是組合問題，或者屬于排列與組合的混合問題。混合問題要先選后排。其次，要抓住問題的本質(zhì)特征，靈活運(yùn)用基本原理和公式進(jìn)行分析解答。最后，要計(jì)算正確。同時(shí)，還要注意講究一些基本策略和方法和技巧，使一些看似復(fù)雜的問題迎刃而解。

一、解排列問題的基本方法

解排列問題的基本方法主要有特殊元素（位置）法、插空法、捆綁法、對(duì)稱性。

例1：7個(gè)人站在一起照相，

（1）全部排成一排，有多少種排法？

（2）排成兩排，前排3人，后排4人，有多少種排法？

（3）站成一排，甲不能站左端，也不能站右端，有多少種不同的站法？

（4）站成一排，甲不在左端，乙不在右端，有多少種排法？

分析：

（1）這是一個(gè)沒有限制條件的問題，7個(gè)人可以任意站，直接解得A=5040種站法。

（2）看起來比剛才復(fù)雜，仔細(xì)分析，實(shí)際上每個(gè)人都沒有限制，7個(gè)人對(duì)應(yīng)7個(gè)位置，所以還是A=5040種站法。

（3）①甲有了限制，只有5個(gè)位置可以站，我們先安排甲站，有A種站法，其他人沒有限制，有A種站法，AA=3600種站法。這種方法叫特殊元素法。

②也可以這樣思考，先找除甲以外的2人將左端的位置站好，有A種站法，接下來就沒有限制了，5人任意站，有A種站法，所以共有AA=3600種站法。這種方法叫特殊位置法。

③還可以用間接法解：不考慮甲的限制條件，有A種，甲站左右各有A種方法，要去掉，共有A-2A=3600種站法。

實(shí)際上，當(dāng)某些元素不能在某個(gè)（或某些）位置、某個(gè)（或某些）位置只能放某些元素時(shí)，我們應(yīng)該優(yōu)先處理這些特殊要求。在計(jì)算時(shí)先處理特殊元素或先處理特殊位置，再考慮其他條件。

先不考慮限制條件，把所有的排列種數(shù)算出，再?gòu)闹袦p去全部不符合條件的排列數(shù)，間接得出符合條件的排列種數(shù)，這種方法也稱為間接法。用這種方法特別注意要不重復(fù)，不遺漏。

（4）這是在（3）的基礎(chǔ)上將限制條件增加為兩個(gè)，變得難一些，但解題的基本方法不變。

①用先處理特殊元素（特殊位置）的方法：甲在右有A種方法，甲在中間位置有A種，這時(shí)乙不能在右，也有A種，共有AAA+A=3720種方法。

②若用間接法，特別注意要不重復(fù)，不遺漏。要注意在右這種情況，共有A-2A+A=3720種方法。

二、解組合問題的基本方法

分組分配問題要注意分組后是否拿走。注意均勻與非均勻，編號(hào)與不編號(hào)限制條件的分組問題。

例2：6本不同的書按下列方法分配，有多少種分法？

（1）分給3人，甲得1本，乙得2本，丙得3本。

（2）分給3人，1人1本，1人2本，1人3本。

（3）平均分成3組。

（4）分給3人，每人2本。

分析：

（1）各組元素?cái)?shù)目確定，分配對(duì)象確定，按要求分配到人。

先從6本不同的書中任取1本給甲有C，然后從剩余的5本中任取2本給乙有C，最后把剩余的3本都給丙C，由乘法原理，共有CCC=60種分法。

（2）與（1）相比，各組元素?cái)?shù)目確定，分配對(duì)象不固定，哪個(gè)得多少是不知道的。各組元素?cái)?shù)目仍分別為1，2，3，但哪個(gè)人得幾本沒有固定。

仿（1）分成三組，有CCC種分法，然后讓3人自由選取，有A種，所以共有CCCA=360種分法。

（3）平均分組，相當(dāng)于分成三組放在一起，不管怎么按什么順序分，放在一起只能算一種情況。按CCC分，是實(shí)際情況的A倍，因此只有=15種分法。

注意：有n個(gè)平均分組時(shí)應(yīng)除以A。

（4）各組元素?cái)?shù)目相等，分配給具體對(duì)象。可以分兩步走：先分成三組，每組2本，然后三人再來拿走。先分組，有分法。三人的拿法有A種。共有A=CCC=90種分法。

解數(shù)學(xué)問題的方法很多，如何既讓學(xué)生掌握基本的解題方法、技巧，又減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)，是每一個(gè)教師應(yīng)該思考的問題，本文對(duì)解排列組合問題作了嘗試，希望行家指正。