一些重要數學工具在經濟學中的應用

[摘 要] 從經濟學問題的分析和預測兩個方面研究了一些數學工具在經濟學中的應用，為分析一些經濟現象和預測一些經濟規律提供幫助。

[關鍵詞] 數學工具 經濟分析 經濟預測

在經濟學發展的歷程中，一些數學工具在不斷地被應用于經濟學的許多領域，這使得數學在不斷應用于經濟學的過程中強化著二者的關系。而且經濟學發展中的每次重大突破都與數學有著重大的關系，微積分應用于經濟學中引發了經濟學的邊際革命;隨著概率論的引入，經濟計量學應運而生;在運用了運籌學中的博弈論之后，對經濟問題中的不確定性與風險性的研究才有了突破性的進展。總結起來，數學工具在經濟學中的應用大致分為兩個方面，一方面是利用數學工具研究一些確定性的經濟關系，對其進行總結分析;另一方面是對一些不確定性的經濟關系，利用數學工具根據已有的經濟現象預測未來，探索一些經濟規律。

一、數學工具在經濟分析中的應用

1.利用導數進行邊際分析

定義 設y=f(x)是一個經濟函數，其導數f’(x)稱為的f(x)邊際函數，f’(x0)稱為f(x)在x0的邊際函數值。例如，成本函數C(q)的導數C’(q)稱為邊際成本;收益函數R(q)的導數R’(q)稱為邊際收益;利潤函數L(q)的導數L’(q)稱為邊際利潤。

由邊際函數的概念不難發現，經濟學中的邊際概念實際上就是導數概念的經濟化，所以我們就完全可以把數學分析中有關利用導數研究函數性態的知識用來進行邊際分析。例如，通過利用導數來研究函數的單調性，從而分析總利潤隨產量的變化的情形。

總利潤函數等于收益函數與成本函數的差，即L(q)=R(q)-C(q) ，則邊際利潤L’(q)=R’(q)-C’(q)。由導數與函數單調性的關系得到:，而，通過分析我們可以得到以下經濟現象，(1)當產量已達到q0(q0是滿足R’(q)≥C’(q)的解)，此時L(q)是增函數，若再多生產一個單位產品，所增加的收入大于所增加的成本，總利潤增加;(2)當產量已達到q0(q0是滿足R’(q)≤C’(q)的解)，此時L(q)是減函數，若再多生產一個單位產品，所增加的收入小于所增加的成本，總利潤減小。

導數的定義決定了在邊際分析中，所討論的是函數的變化率問題，是個絕對變化率，而要更深入的分析一些經濟問題，需要研究函數的相對變化率，進行彈性分析。

2.利用導數進行彈性分析

彈性研究的是函數的相對變化率(因為與都是相對改變量)，它反映的是自變量的變化幅度對因變量變化幅度的影響程度，由定義知當時，，即當自變量在x0處增加1%時，因變量y相應地在y0=f(x0)處近似地改變個百分數。

下面利用彈性分析來討論需求價格彈性與總收益R(p)=pD(p)之間的關系。因為R’(p)=D(p)+pD’(p)=D(p)Ep=D(p)(1-Rp)可見:(1)當Ep>1時，R’(p)<0，所以當需求變動的幅度大于價格變動的幅度，此時邊際收益小于零，即收益減少，所以隨著價格的上升收益會減少。(2)當Ep<1時，R’(p)>0，所以當需求變動的幅度小于價格變動的幅度，此時邊際收益大于零，即收益增加，所以價格上漲，總收益減少。(3)當Rp=1時，R’(p)=0。所以當需求變動的幅度等于價格變動的幅度，邊際收益等于零，即總收益保持不變，收益對于價格處于臨界狀態。

綜上，需求價格彈性和總收益的關系可概括為:如果價格和總收益以相反方向變化，那么需求是有彈性的;如果價格變化但總收益不變，那么需求是單位彈性的;如果價格和總收益以相同方向變化，那么需求是無彈性的。

3.利用導數進行優化分析

在高等數學中，利用導數求函數的極值是一種常用方法。具體地講，函數的最大值或最小值在導數為零的點處取到，在實際問題中，最值點就是極值點。在經濟分析問題中，我們可以利用該方法進行經濟分析。當我們根據經濟現象建立了數學模型，當經濟函數是一元或二元函數時，通過求導數或偏導數，再求導數為零的點，該點就是經濟問題的最優點，根據實際可能是收益最大化的點，或者是消耗最小化的點。

在以上的經濟分析問題中，所研究的都是一些確定性的經濟關系，而對一些不確定性的經濟關系的研究，需要我們先對經濟變量間的關系進行測定，從而進行經濟預測，探索一些經濟規律。

二、一些數學工具在經濟預測中的應用

1.回歸分析在經濟預測中的應用

回歸分析是研究相關關系的一種數學工具，是數理統計中最常用的統計方法之一。所謂回歸分析就是對具有相關關系的兩個或兩個以上變量之間數量變化的一般關系進行測定，確立一個相應的數學表達式以便從一個已知量來推測另一個未知量，為估算預測提供一個重要的方法。

2.馬爾科夫鏈在經濟預測中的應用

可以利用馬爾科夫鏈來預測經濟狀態的變化趨勢，在[6]中，應用馬爾科夫鏈理論建立了期望銷售利潤預測的數學模型，并結合有關實例進行了計算分析，另外也可以用來預測市場占有率等。

三、結論

隨著經濟學的發展，用數學工具來分析和求解問題已成為對各種經濟領域進行研究，從而獲得最佳解決方案的必要手段。當然，為了更好地利用數學來研究、解決經濟問題，我們要從經濟的實際出發建立數學模型，運用數學的理論和方法求解模型，進而形成經濟理論，并在實踐中驗證這些理論，然后利用他們指導經濟運作。

參考文獻:

[1]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京:高等教育出版社，2003

[2]魏宗舒:概率論與數理統計[M].北京:高等教育出版社，2005

[3]高鴻業:西方經濟學[M].北京:人民大學出版社，2000

[4]李勝玉:數學在經濟學中的應用[J].現代商業，2008，18:270

[5]吳云天:數學方法在經濟學中的地位和作用[J].山西財經大學學報(高等教育版)，2004，7(3):87～88

[6]楊 濤 葉耀軍:馬爾科夫鏈在經濟預測中的應用.商場現代化，2008，528:399