微積分法在組織教學過程中的研究

許云鵬

自上世紀80年代以來,二十年間高中數學課程內容一直相對穩定。盡管教學大綱和教材也經過了幾次修訂,但教學內容仍然是代數、三角、立體幾何、解析幾何四大部分(上海市除外)。然而,這一局面在上世紀末被打破。原國家教委首先于1996年頒發了《全日制普通高級中學數學教學大綱(試驗)》,對原有內容作了較大修改,加入了概率統計、微積分的初步知識和向量。本文將圍繞微積分教學進行分析,以期探究出一些較為可行的策略。

一、新大綱“微積分”部分分析

雖然新大綱仍然將微積分作為選修內容(即高中會考不要求),但卻是廣大希望進入高校繼續深造的高三學生的“必修”功課。總體上看,有如下幾個特點:

1.充分考慮到文理學生對于微積分需求和自身數學能力的差異

內容較少,要求也不太高。極限部分,除加入函數極限的概念外,與舊大綱要求相差不大;只要求掌握導數的概念及其幾何意義(不涉及微分),且只需掌握函數y=xn(n∈N*)的導數公式,會求多項式函數的導數。可見,理科生學好了,對以后學習“高等數學”有很大的幫助。

2.對微積分的定位比較好,充分考慮到學生的實際水平

沒有過多地涉及極限的理論知識,也沒有要求嚴格的論證,只需直觀認識,只需讓學生借助幾何直觀理解連續函數有最大最小值的性質,這樣既能對極限的一些重要性質有所認識,也不會因嚴格的論證望而卻步。故大綱針對各部分內容的輕重,靈活地區分對待。

3.重視微積分在中學階段的應用

因為如果不談應用,學生不僅學習該內容無甚興趣,而且也不能對微積分有一個全面的了解。況且,在講授微積分的應用時,也能加深學生對中學數學其他知識的理解。

4.通過微積分初步的教學,了解微積分學產生的時代背景和歷史意義

進行客觀事物相互制約、相互轉化、對立統一的辯證關系等觀點的教育,說明教師不僅應講授微積分的基本知識和原理,還應該讓學生了解微積分發展的社會背景,形成一定的數學思維并能上升到哲學的高度。這其實也揭示了微積分所具有的人文價值和內涵。

下面我們來分析高中數學課堂中,組織微積分教學應遵循的一些原則和策略,根據學生學習微積分可能出現的困難,探索一些可行的突破方案,以及筆者的一些思考和看法。

二、組織微積分教學應采取的策略

1.不斷加強變量概念的教學,樹立以變量為思維對象的數學觀

由于學生在長期的數學學習中接觸的均為常量,常量數學在頭腦中已根深蒂固。但在學習極限、連續、導數、微分等概念時,沒有變量的思維是不行的。所以在組織教學時,需加強變量概念的教學,讓學生逐步熟悉和適應變量,并能思考變化過程。當然,這就需要我們在教學中要特別注意將變量及其變化講解清楚。

2.要以直觀描述為主,鼓勵“合情推理”和“合情猜想”

其實這也是筆者認為的微積分在中學教學中較為合理的定位。對此部分的教學應當以直觀性的描述為主,以掌握方法、計算為主,對理論上的嚴謹性不宜要求過高,更無須嚴格的證明。涉及的一些概念和結論,既要使學生正確地理解和掌握,也要適可而止。

3.防止微積分教學退化成僅讓學生記住一些公式和結論

考慮到高中生的實際水平,不需要在理論上過分要求嚴格。但無論是用直觀圖形引入還是給予一定的推理,都應讓學生主動地參與,引導學生觀察和發現圖形的“變化趨勢”或親自動手進行推導,這樣才有利于培養學生的“變量思維”,感受微積分的內涵和與初等數學的差異。否則,如果為了“體貼”學生或純粹的“應試心理”,微積分教學變成了讓學生在不理解的狀況下死記一些公式和結論,那么在高中教授微積分就失去了意義和價值,學生的能力也不會提高。

4.處理好微積分與初等數學的關系

在學習導數和定積分的應用時,學生會發現微積分是一個較初等數學厲害的工具,能比較容易地用初等數學方法解決十分繁瑣和困難的問題,而教師也可能會在解題的演示中傳達這樣的訊息。一方面,學生可以掌握更為簡便的方法,并產生對微積分的興趣;但另一方面,也可能對他們的學習心態及思考能力帶來負面的影響,反而不利于培養學生的創造能力。所以教師應有意識地引導學生思考解決某些問題。

總之,如何進行微積分教學在高中數學是一個全新的課題,相對于對代數和幾何等經典內容已經臻于完善的教學研究,微積分的教學研究還不成熟,處于摸索的階段。但也正因為如此,探討微積分的教學才更有價值和意義。

作者單位:莊河市第四高級中學