全等三角形的實際應用

劉　頓

全等三角形源于生活,又為我們的生活服務. 請看下面三個例子.

一、測量河寬

例1如圖1所示,要測量河寬AB,可先在岸上畫AB的垂線段BC,并在BC上取點D,使BD=CD,再作BC的垂線CE,使A、D、E三點共線,最后量出線段CE的長就是AB的長,為什么?

簡析:由于AB⊥BC,EC⊥BC,

所以∠B=∠C=90°.

在△ABD和△ECD中,

∠B=∠C,BD=CD,

∠ADB=∠EDC(對頂角相等),

所以△ABD≌△ECD(ASA).

所以AB=EC,即量出線段CE的長就是AB的長.

評點:數學建模是解決實際問題的關鍵.在本例中,運用了三角形全等尋找AB與CE的關系.

二、判斷距離關系

例2如圖2所示,兩根長度為10m的繩子,一端系在旗桿上,另一端分別固定在地面的兩個木樁上,兩個木樁離旗桿底部的距離相等嗎?為什么?請說明理由.

簡析:兩個木樁離旗桿底部的距離相等.

理由:因為AD⊥BC于點D,

所以∠ADB=∠ADC=90°.

在Rt△ADB與Rt△ADC中,

因為AD=AD,AB=AC,

所以Rt△ADB≌Rt△ADC.

所以BD=DC.

評點:本題運用了直角三角形全等的判定條件求解.

三、方案設計

例3圖3為人民公園中的荷花池的示意圖,現要測量此荷花池兩旁A、B兩棵樹間的距離(不能直接量得).請你根據所學知識,以卷尺和測角儀為測量工具設計一種測量方案.

要求:(1)畫出你設計的測量平面圖;

(2)簡述測量方法,并寫出測量的數據(長度用a、b、c、…表示;角度用α、β、γ、…表示);

(3)根據你測量的數據,計算A、B兩棵樹間的距離.

簡析:測量AB的距離的方法很多. 這里用全等三角形的知識來解決,具體方案如圖4所示.

一般步驟為:在地面上找可以直接到達A、B的點O;在AO的延長線上取一點C,使OC=OA;在BO的延長線上取一點D,使OD=OB;測得DC=a,則AB=a.

評點:這道開放型設計方案題,求解的方法很多. ■