三線八角中的主線——截線

李　疆

學習“三線八角”時,有的同學常常會因三線八角的圖形稍微復雜一點就分辨不清哪兩個是同位角,哪兩個是內錯角,哪兩個角是同旁內角。然而,同位角、內錯角、同旁內角的判定恰恰是學習平行線的性質與判定的關鍵。其實,在學習時我們只要抓住三線中的主線——截線,就能判定某兩個角是同位角,還是內錯角,還是同旁內角。

如圖1,在平面中的兩條直線AB、CD被第三條直線EF所截,共得八個角,其中,∠1和∠2、∠3和∠4、∠5和∠6、∠7和∠8,分別由直線AB和EF,直線CD和EF相交構成,兩組各有四個角。現在,研究沒有公共頂點但有一條邊在同一直線上的兩個角,如圖1中的∠1和∠5,∠4和∠6、∠4和∠5等等。

這些頂點不同又各有一條邊在同一條直線上的每一對角,根據它們所處的方位給以分類。如∠1和∠5在截線EF的同旁(同左或同右),又處于被截兩直線的同方向的“同”位置,即同在右上方、左上方、右下方或左下方,因此∠1和∠5這兩個角叫做同位角。∠2和∠6,∠3和∠7,∠4和∠8也是同位角,故共有4對。∠4和∠6分別在截線EF的兩側(交錯),又處于被截兩直線之間(內部),因此∠4和∠6這兩個角叫做內錯角,∠3和∠5也是內錯角,共有2對。∠4和∠5在截線EF的同旁,又處于被截兩直線之間(內部),這兩個角叫做同旁內角,因此∠3和∠6也是同旁內角。由此可見,三線八角的圖形中的主線是截線,抓住了截線,問題就迎刃而解了。

因而,不論是由三線八角圖形判斷同位角、內錯角和同旁內角,或是由同位角、內錯角和同旁內角找出構成它們的“三線”,都要進行這樣的三步驟:一看角的頂點,二看角的邊,三看角的方位。這三步又都離不開主線——截線的確定。

例1.在圖2中,∠1的同位角是( );∠2的內錯角是

( );∠3的同旁內角是( )。

分析:∠1的同位角的一條邊必須與∠1的一條邊在同一直線上,即截線上。由圖知∠1的兩邊為AD和AE,其中只有AD(也就是BD)同時是∠3和∠B的一條邊。又知∠3的位置不符合同位角的概念,所以∠1的同位角是∠B,同理分析另兩問。(答案:∠1的同位角是∠B,∠2的內錯角是∠C,∠3的同旁內角是∠B與∠C)。

例2.如圖3,(1)∠BAD與∠CDA是直線( )被直線

( )所截構成的同旁內角。(2)∠1與∠2是直線( )被( )所截構成的內錯角。(3)直線AB、CD被AC所截構成的內錯角是()。

分析:(1)∵∠BAD與∠CDA頂點是不同的,都有一邊同在直線AD(截線)上,且在截線AD的同旁,又處于被截兩直線AB、CD之間,∴∠BAD與∠CDA是兩條直線AB、CD被直線AD所截構成的同旁內角。(2)、(3)請同學們按所講方法進行判斷。

理解了抓住“截線”去解決問題的方法以后,還應做一定量的練習去熟悉圖形。這樣,無論圖形的位置怎樣變動,圖形有多復雜,我們都能以不變——截線為主線,去解決萬變的圖形。

練習:

1.指出下列圖形①~④中所標角之間的關系。

2.填空。如圖:(1)∠1和()是直線()和( )被直線()所截構成的同位角。(2)∠2和()是直線( )和( )被( )所截構成的內錯角。(3)∠5和( )是直線( )和( )被()所截構成的同旁內角。

答案:1.略 2.(1)∠1和(∠7)是直線(b)和(c)被直線(a)所截構成的同位角。(2)∠2和(∠6)是直線(b)和(c)被(d)所截構成的內錯角。(3)∠5和(∠8)是直線(a)和(d)被(c)所截構成的同旁內角。

作者單位:四川省天全縣初級中學