也談中考應用題解題策略

樊桂蘭

中圖分類號:G42文獻標識碼:A文章編號:1671-7597(2009)1120158-01

解題策略就是解決數學問題的思想,是為了實現解題目標而采取的方針。良好的解題策略可以優化解題過程,精簡解題步驟,節省搜索信息的時間,增大成功機會。近年的中考試題中,應用題出現的地方比較多,在選擇、填空、解答三種題型中均有出現。尤其解答題中的應用題,學生都很發怵,拿到題目之后無從下手,到處亂撞。因此,探究數學應用題解題策略就顯得很有必要和非常迫切。應用解題策略主要體現在兩個方面:即閱讀理解與數學建模。

一、點面閱讀,準確理解

數學應用題的閱讀理解是解題的第一級臺階進程,因此,必須過好閱讀關。應用題的題干一般比較長,涉及名詞、概念比較多,而且數量關系隱蔽,可采取以下策略熟悉題意:

(一)目的明確,節省信息的搜索時間。抓住題目中的關鍵字、詞、句、式、數,有目的的閱讀,有助于快速收集信息,短時間內弄清題目中講的是什么,給了什么,自己應做到什么。

(二)摘其精華,減少題目的干擾內容。由于應用題描述水平和書面語言規范的要求及問題本身特點等的影響,常使其內容表達不甚簡單扼要,導致學生讀題過程中將題意部分遺忘或曲解。為解決這一問題,現提供以下策略以饗讀者,就讀方家。

1.摘其精華,文表結合。例1:某汽車經銷。公司計劃經銷A、B兩種品牌的轎車50輛,該公司經銷這50輛車的成本不少1240萬元,但不超過1244萬元,兩種轎車的成本和售價如右表。

問:該公司經銷這兩種品牌的轎車有幾種方案?哪種方案獲利最大?最大利潤是多少?

摘出其中的關鍵詞、句、數等,同時將圖表語言轉化成簡短的文字語言:A的成本為每輛24萬元,售價為每輛27萬元,B的成本為每輛26萬元,售價每輛30萬元。

問題,增添了“催化劑”帶來很大方便,在調配問題中也經常用到這種解題策略。

2.摘其精華,排列信息。例2:利達經銷店為某工代銷一種建筑材料(這里的代銷是指廠家先免費提供貨源,待貨物售出后再進行結算,未售出的由廠家負責處理)當每噸售價為260元時,月銷售量為45噸,該經銷店為提高經營利潤,準備采取降價的方式進行促銷,經市場調查發現:當每噸售價每下降10元時,月銷售量就會增加速7.5噸。綜合考慮各種因素,每售出一噸建筑材料需支付廠家及其它費用100元,設每噸材料的售價為X(元),該經銷店的月利潤為Y(元)。

求:(1)當每噸售價是240元時,計算此時的月銷售量

(2)Y與X的函數關系式(不要求寫出X范圍)

摘其要點,將信息按一定的邏輯順序排列下來:

(1)每噸售價為260元時,月銷售量45噸;(2)每噸下降雨量10元時,月銷售量增加油站45噸;(3)一噸的成本費用100元;(4)售價為X元,月利潤為Y元。

聯想公式:利潤=售價-成本

解略。

評注:摘出信息,按序排列,一般適用于內容比較繁雜的題目,具體操作為:邊讀題,邊摘要素,再按邏輯順序排列下來,結合題目全面求解。

3.類比分析,降低題目的陌生度。例3:停電時,小王點起了兩只蠟燭,這兩只蠟燭一樣長,但不一樣粗,粗蠟燭可點燃2小時,細蠟燭可點1小時,來電后小王吹滅了兩只蠟燭,此時發現粗蠟燭長度是細蠟燭長度的2倍,你知道停電多長時間嗎?

分析:因為蠟燭原來的長度相同,易想到工程問題,從而悟出設出蠟燭原來的長度及停電時間,就不難解答。

評注:一般在解決陌生問題、非常規問題復雜問題時,通常可聯想我們熟悉的、常規的簡單的問題作為樣本,這樣便有例可仿,可以說類分析為解決這類問題起到了“比貓畫虎”的作用。

總之,閱讀的策略化有助于正確的理解題意,有時候一個問題可能需要運用不止一種閱讀策略,要根據需要,靈活的選用恰當的方法。

二、全面整合、科學建模

閱讀是為了理解題意,列式是為了表達題意,列式是解決應用題的關鍵,它是對文字、圖象的抽象概括,建模的過程是將文字語言,符號語言、圖表語言向數學語言轉化的過程。一般來說可采用下列策略來建立數學模型。

(一)雙向推理、交叉列式

例4:某送奶公司計劃在三棟樓之間建一個奶站,三棟在同一條直線上,順次為A樓、B樓、C樓,其中A樓與B樓之間的距離為40米,B樓與C樓之間的距離為60米,已知A樓每天有20人取奶,B樓每天有70人取奶,C樓每天有60人取奶,取奶公司提出兩種建站方案。

方案一:讓每天所有取奶的人到奶站的距離最小。

方案二:讓每天A樓與C樓所有取奶的人到奶站的距離之和等于B樓所的取奶的人到奶站的距離之和。

若按照方案一建站,取奶站應建在什么位置?

分析:本題應抓住結果到奶站的距離和最小可初步確定為函數的最值問題,正向推理可知自變量為奶站距A(或B、C)樓的距離X米,函數為三樓到奶站的距離之和Y米。

評注:順向推理可聯想有關公式、概念等,逆向思維可以明確方向,所以雙向推理有助于頓悟或靈感的突然出現有效地縮短了已知與結果的距離,有助于我們在心理視野“看到”題目的列式路徑。

(二)借助數模、直接列式

例5:某企業信息部進行市場調查發現:

信息一:如果單獨投資A種產品,則所獲利潤y萬元與投資金額x萬元之間存在正比例函數關系:y=kx,并且當投資金5萬元時可獲利潤2萬元;

信息二:如果單獨投資B種產品,則所獲利潤 y萬元與投資金額x萬元之間存在二次函數關系:y=ax2+by,并且當投資2萬元時,可獲利潤率2.4萬元;當投資4萬元時,可獲利3.2萬元。

請分別求出兩函數的表達式。

分析:利用待定系數法,套用正比例函數和二次函數的模型,構造關于k、a、b的方程就可求解。

評注:初中常見的模型有:平均增長率、行程、工程、濃度等問題,可以建立方程(組)或不等式(組)模型;拱橋、炮彈發射、飛機投物、投鉛球、籃球等問題可建立二次函數模型;測量中求影高、身高、不能直接得到物體的高度等問題可建立直角三角形模型等。

中考題型千變萬化,解題策略只是提供了一個相對穩定的樣本,即不是萬能,也不能一成不變,遇到一個新的更深刻的現實問題或非常規的問題時我們還需要轉化,分步進行求解,還需要對模型加以縱橫聯想以方便應用,同時我們要創造更多和更高層次的模型,逐漸進入得心應手的境界。