高等數(shù)學中數(shù)形結合教學模式的探討

胡永生

摘要:本文在舉例分析了在高等數(shù)學的教學過程中運用數(shù)形結合的模式進行教學的優(yōu)勢,并以利用多項式函數(shù)近似表示正弦函數(shù)為例,探討了如何在高等數(shù)學中應用動畫的形式進行數(shù)形結合的教學方法,著重介紹了通過利用動畫的形式自動生成函數(shù)f(x)及其冪級數(shù)展開式的前n項和函數(shù)Sn(x)的圖形并進行比較的方法,使學生能夠輕松有趣地理解函數(shù)展開為冪級數(shù)的意義及其應用。

關鍵詞:高等數(shù)學數(shù)形結合教學優(yōu)勢

高校中的高等數(shù)學課程課時偏少,而教學的內(nèi)容又多,這是目前普遍存在的問題,有的學校或教師采用的方法是難的內(nèi)容盡量避開不講,較難的內(nèi)容盡量將問題簡單化,這種不嚴謹不系統(tǒng)的教學過程無法使學生掌握數(shù)學的精髓,難以欣賞到數(shù)學中的美,使得學生的學習缺乏系統(tǒng)性,接受到的數(shù)學知識也是零散的,讓學生感覺到數(shù)學是一大堆枯燥無味的定義、定理放在一起,無法使學生對數(shù)學這門學科產(chǎn)生濃厚的興趣。我們認為教師在高等數(shù)學的教學中要盡可能利用先進的教學手段,巧妙地利用數(shù)與形的結合,做到全方位地讓學生來感受數(shù)學帶來的美與快樂,能夠輕松有趣地學習高等數(shù)學,要引導學生進行更深層次的思考,只有這樣才能夠取得良好的教學效果。

一、數(shù)形結合有助于對概念的理解

高等數(shù)學中的許多概念都是用抽象的數(shù)學語言給予形式化的精確描述,由于這種描述高度抽象,初學者很難理解它的含意,往往是不加理解的死記硬背。教學中若從概念的幾何背景人手,借助直觀的幾何圖形引導和啟發(fā)學生觀察、分析,由具體逐步過渡到抽象,將有助于學生理解抽象的概念。例如,在講解導數(shù)概念時,從介紹曲線的切線斜率人手,再通過介紹變速直線運動的瞬時速度的求法,最后歸納總結出:雖然曲線切線的斜率和變速直線運動的瞬時速度是兩個截然不同的概念,但是通過分析都歸結為同一形式的極限,于是拋開它們的幾何或物理意義,找出它們的本質特征,將這種形式的極限抽象概括為導數(shù)。導數(shù)不僅可以求曲線的切線斜率和變速直線運動的瞬時速度,而且可以解決許多實際問題,如求變速直線運動的瞬時加速度、求非恒定電流問題中的電流強度、求比熱等等,應用相當廣泛。再如極限、連續(xù)、微分、定積分、二重積分等概念的引出,都應從幾何背景人手。利用數(shù)形結合思想引出概念,不僅使學生看到概念的來龍去脈,加深了對概念的理解,而且能夠在傳授知識的同時影響學生的數(shù)學思想,使學生學會抽象與概括的科學思維方法,提高學生分析問題和解決問題的能力。

二、數(shù)形結合有助于對定理的理解

高等數(shù)學中的有些重要定理比較抽象,理解起來也比較困難,但是如果利用數(shù)形結合思想,恰當?shù)囊龆ɡ砘驅Χɡ碜鞒鲋庇^的幾何解釋,學生掌握起來就容易多了。例如,對于微分中值定理的教學,微分中值定理通常包括羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。這些定理是微分學理論的重要部分,也是導數(shù)應用的“橋梁”,因而是微分學的重點之一。由于定理集中,論證的分量較重,學生學習往往感到困難。利用數(shù)形結合思想,恰當引出定理,進而揭示各定理之間的聯(lián)系,有助于消除教學中這一難點。

三、數(shù)形結合有助于尋求解題途徑

有些數(shù)學問題,僅局限于數(shù)或形方面的考慮,雖然能解決,但過于繁瑣,甚至很困難,若根據(jù)問題的條件與結論的內(nèi)在聯(lián)系,既分析其代數(shù)式的含義,又揭示其幾何意義,使數(shù)量關系與空間形式巧妙而和諧的結合起來,并充分利用這種結合,尋求解題途徑,使問題得以簡捷的解決。

例設,求的最小值。

分析:如果此題用二元函數(shù)求極值的方法計算十分繁難。注意到這是一個平方和的形式,從而聯(lián)想到兩點間的距離公式,設p(u,),Q(v,9/v),則w=,問題化歸為求P、Q的距離的最小值。因為u2+()2=2,9v/v=9所以P、Q分別是半圓x2+y2=2(y≥0)和雙曲線一支xy=9(x≥0)的點,即求半圓x2+y2=2(y≥0)上的點與雙曲線xy=9(x≥0)上的點的最短距離,由圓與雙曲線的性質可知,這個最短距離是:

故Wmin=8。

本題充分地利用了代數(shù)式的幾何意義,數(shù)形結合,使解法簡捷、明快,具有創(chuàng)新性。

四、數(shù)形結合教學模式的應用舉例

通過圖形來展示函數(shù)中量與量之間的關系仍然是較好的教學形式,隨著科技的進步與發(fā)展,數(shù)學中的圖形由靜止的發(fā)展成了變化的、由平面的發(fā)展成了立體的;一個非常好的動態(tài)畫面再加上五彩繽紛顏色,不光給學生美的感受,還讓學生輕松愉快地學到很多較難理解數(shù)學知識。

在高等數(shù)學教學中,將函數(shù)展開為冪級數(shù)是高等數(shù)學課程教學中的一個重點和難點,學生對于泰勒(Taylor)中值定理和函數(shù)展開成冪級數(shù)往往難以理解。在傳統(tǒng)的教學手段中,我們很難結合函數(shù)的圖形讓學生能夠更加直觀地理解泰勒公式和函數(shù)的冪級數(shù)展開式,因此教師在講授這部分內(nèi)容時是很費勁的,學生學習起來也很吃力。學生們在學習這部分內(nèi)容時常常對以下的問題感到困惑: