一個包含偽Smarandache函數及其對偶函數的方程

張瑾

(西安文理學院初等教育學院,陜西西安 710001)

一個包含偽Smarandache函數及其對偶函數的方程

張瑾

(西安文理學院初等教育學院,陜西西安 710001)

研究一個包含偽Smarandache函數及其對偶函數方程的可解性,利用初等及組合方法給出了該方程的一系列正整數解,并證明了該方程的所有奇數解必為奇素數p(≥5)的方冪.

偽Smarandache函數;對偶函數;方程;正整數解;初等方法

1 引言及結論

(B)方程(2)的所有奇數解必為奇素數p(≥5)的方冪.

本文利用初等及組合方法研究了這一問題,并部分的解決了張文鵬教授的猜測.具體地說也就是證明了下面的:

定理設n為任意正奇數,則n滿足方程(2)當且僅當n為素數p(≥5)的方冪.即就是n=pk,其中p≥5為素數,k為任意正整數.

顯然我們的定理徹底解決了上面的猜測(B).猜測(A)是否成立仍然是一個公開的問題,有待于我們進一步研究!

2 定理的證明

這節利用初等及組合方法直接給出定理的證明.事實上由偽Smarandache函數Z(n)的性質知對于任意奇素數p及正整數k,我們有Z(pk)=pk?1.而當素數p≥5時,Z?(pk)=1,所以Z(pk)+Z?(pk)=pk.從而n=pk是方程(2)的正整數解,其中p≥5為素數,k為任意正整數.但是Z(3k)=3k?1,Z?(3k)=2,所以Z(3k)+Z?(3k)=3k+1/=3k.所以n=3k不是方程(2)的解.現在我們證明方程(2)除了以上正整數解之外,再沒有其它正奇數解.顯然n=1不滿足方程(2).于是如果方程(2)有其它大于1的奇數解n,則n至少含有兩個不同的奇素因子.

結合以上幾種情況我們立刻推出奇數n為方程(2)的解當且僅當n=pk,其中p≥5為素數,k為任意正整數.于是完成了定理的證明.

顯然n=6是方程(2)的一個偶數解,但是要徹底解決猜測(A)我們目前還沒有想到有效的辦法,建議有興趣的讀者與我們一起研究.

[1]Smarandache F.Only Problems,Not Solutions[M].Chicago:Xiquan Publishing House,1993.

[2]David Gorski.The pseudo Smarandache function[J].Smarandache Notions Journal,2002,13:140-149.

[3]Kenichiro Kashihara.Comments and Topics on Smarandache Notions and Problems[M].USA:Erhus University Press,1996.

[4]Lou Yuanbing.On the pseudo Smarandache function[J].Scientia Magna.,2007,3(4):48-50.

[5]Zheng Yanni.On the Pseudo Smarandache function and its two conjectures[J].Scientia Magna.,2007,3(4):50-53.

[6]Sandor J.On a dual of the pseudo Smarandache function[J].Smarandache Notions Journal,2002,13:18-23.

[7]張文鵬.初等數論[M].西安:陜西師范大學出版社,2007.

[8]閔嗣鶴,嚴士健.初等數論[M].北京:高等教育出版社,1982.

An equation involving the pseudo Smarandache function and its dual function

ZHANG Jin

(Department of Elemengtary Education Xi’an University of Arts and Science,Xi’an710001,China)

To study the positive integer solutions of an equation involving the pseudo Smarandache function and its dual function by using the elementary and combinational method.A series positive integer solutions are given for the equation.Finally,we proved that the odd number n satisfying the equation if and only if n=pk, where p≥5 be a prime,and k be any positive integer.

the pseudo Smarandache function,dual function,equation,positive integer solution,elementary method

O156.4

A

1008-5513(2009)04-0786-03

2008-05-09.

國家自然科學基金(10671155),陜西省教育廳科研專項基金(08JK433).

張瑾(1980-),講師,研究方向：基礎數學.

2000MSC:11B83