G-De Morgan代數的G-同態與G-同余

羅從文,陳繼華

(三峽大學理學院,湖北宜昌 443002)

G-De Morgan代數的G-同態與G-同余

羅從文,陳繼華

(三峽大學理學院,湖北宜昌 443002)

將De Morgan代數的自同構群對De Morgan代數的作用,推廣成抽象群對De Morgan代數的作用,引入了G-De Morgan代數的概念,討論了G-De Morgan代數的G-同態、G-同余等性質,并研究了G-De Morgan代數的直積分解和次直不可約性.

G-De Morgan代數;G-同態;G-同余

1 引言

一個De Morgan代數是帶有一個一元運算“'”且滿足De Morgan律和對合律的有界分配格.De Morgan代數是布爾代數的推廣,在非經典邏輯中具有重要的作用[1-4].De Morgan代數的所有自同構關于映射的合成構成一個群.任意群和De Morgan代數的自同構群的同態關系,就是群的De Morgan代數自同構群表示問題,這是群論中很重要,很感興趣的問題.文[5]中把集合的變換群對集合的作用推廣成抽象群對集合的作用,由此研究群自身的結構,得到了十分漂亮而完整的結構理論.在環論中,用交換群代替集合,用交換群的自同態環代替集合的變換群,產生了環上模的概念,從而得到了環的表示理論.仿照群的群作用方法和環的模論方法,在本文中,我們把De Morgan代數的自同構群對De Morgan代數的作用,推廣成抽象群對De Morgan代數的作用,得到了G-De Morgan代數的概念,把尋找群的De Morgan代數自同構群表示問題歸結為尋找G-De Morgan代數的問題,給出了G-De Morgan代數的G-子代數、G-同態、G-同余等概念,研究了G-De Morgan代數的直積分解和次直不可約性.

2 G-De Morgan代數的定義和性質

定義1設G是一個群,AutM是De Morgan代數M的自同構群,稱G到AutM的一個同態φ為群G的一個(自同構群的)表示.

定義2設G是一個群,M是一個De Morgan代數.若存在一個G×M到M的映射(以gm表示(g,m)的象)滿足條件:?g,h∈G,x,y∈M,有

(1)ex=x,g0=0,g1=1,其中e是群G的單位元,0和1分別是M的最小元和最大元;

(2)g(hx)=(gh)x;

(3)g(x∧y)=gx∧gy;

(4)g(x∨y)=gx∨gy;

(5)gx'=(gx)'.

則稱M是一個G-De Morgan代數.

一個給定的De Morgan代數可以有許多不同的G-De Morgan代數結構.

例1設G是一個群,則每個De Morgan代數M可以作成G-De Morgan代數,其中gm定義為m,對于任意g∈G,m∈M.

例2設M是一個De Morgan代數,AutM是M的自同構群.則M是AutM-De Morgan代數,其中fm定義為f(m),對于任意f∈AutM,m∈M.

例3設群G={e,g},其中eg=ge=g,g2=e2=e,A1,A2和B分別為如下圖所示的De Morgan代數

圖1 De Morgan代數A1,A2及B

它們分別按下面表1-3的作用方式成為G-De Morgan代數.

表1 群G對De Morgan代數A1的作用

表2 群G對De Morgan代數A2的作用

表3 群G對De Morgan代數B的作用

下面說明群G的表示和G-De Morgan代數是一回事.

設φ:G→AutM是群G的一個表示.對任意g∈G,x∈M,利用φ定義:gx=φ(g)(x),這里φ(g)∈AutM.而φ(g)(x)是x在φ(g)下的象.直接驗證可知,M成為一個G-De Morgan代數.例如由于φ(e)=1M.故有ex=φ(e)(x)=1M(x)=x.又如gx'=φ(g)(x')=(φ(g)(x))'=(gx)'.這樣,有群G的一個表示,就得一個G-De Morgan代數.

3 G-同態與G-同余

命題4設G是一個群,A和B都是G-De Morgan代數,函數ψ:A→B是G-De Morgan代數之間的一個G-同態.則ψ的核Kerψ={a∈A|ψ(a)=0}是A的一個G-理想.

注2對于一個給定的群G,所有G-De Morgan代數與G-同態顯然形成一個范疇.

定義6設G是一個群,M是一個G-De Morgan代數,M上的De Morgan代數同余?叫做一個G-同余是指對于任意g∈G,若(a,b)∈?,則(ga,gb)∈?.

例6在例3中G-De Morgan代數A1的關系?1={{0,b},{a},{a'},{b',1}}是A1的G-同余, G-De Morgan代數A2的關系?2={{0,a},{b,e,b',d},{c},{a',1}}是De Morgan代數A2上的同余,但不是G-De Morgan代數A2的一個G-同余,因為(0,a)∈?,但(g0,ga)/∈?.

命題5設G是一個群,A和B都是G-De Morgan代數,函數ψ:A→B是一個G-同態.則N= {(a1,a2)∈A×A|ψ(a1)=ψ(a2)}是A的一個G-同余.

定理1設G是一個群,M是一個G-De Morgan代數,關系?是M的一個G-同余.則商代數M/?是一個G-De Morgan代數,其中g[a]定義為[ga]且映射π:M→M/?,a→[a]是G-De Morgan代數之間的一個G-滿同態.

證明若[a]=[b],則(a,b)∈?.由于?是M的一個G-同余,因此(ga,gb)∈?,即[ga]=[gb].這說明這個定義是有意義的.顯然M/?是一個De Morgan代數.因為

4 G-De Morgan代數的直積分解與次直不可約性

[1]Balbes R,Dwinger Ph.Distributive Lattices[M].Missouri:University of Missouri Press,1974.

[2]Blyth T S,Varlet J C.Ockham Algebras[M].London:Oxford Univ.Press,1994.

[3]羅從文.De Morgan代數[M].北京:北京理工大學出版社,2005.

[4]王尊全.MS-代數的理想和同余關系[J].純粹數學與應用數學,2004,20(4):389-392.

[5]Hungerford T W.Algebra[M].New York:Spring-Verlag,1980.

[6]Blyth T S,Silva H J.Direct decompositions of Ockham Algebras[J].Algebra Colloquium,2004,2:239-248.

[7]Sankappanavar H P.A Characterization of Principal Congruences of De Morgan Algebras and its Applications[C]//Arruda A I,Chuaqui R,Da Costa N C A.Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. Santiago:north Holland,1980.

The G-homomorphisms and the G-congruences
on a G-De Morgan algebra

LUO Cong-wen,CHEN Ji-hua
(College of Science,China Three Gorges University,Yichang443002,China)

We extend the action of the automorphism group of a De Morgan algebra on the De Morgan algebra to the action of a group on a De Morgan algebra,and introduce the concept of the G-De Morgan algebra,and then discuss the properties of the G-homomorphism and G-congruence of a G-De Morgan algebra and study the direct product decomposition and the subdirect irreducible G-De Morgan algebras.

G-De Morgan algebra,G-homomorphism,G-congruence

O153.1

A

1008-5513(2009)04-0743-06

2008-02-10.

湖北省教育廳自然科學研究重點項目(2004D006).

羅從文(1965-),教授,研究方向：De Morgan代數理論.

2000MSC:06D30