多值半流理論及其在三維Navier-Stokes方程中的應用

宋雪麗,侯延仁

(1.西安交通大學理學院,陜西西安 710049;2.西安科技大學理學院,陜西西安 710054)

多值半流理論及其在三維Navier-Stokes方程中的應用

宋雪麗1,2,侯延仁1

(1.西安交通大學理學院,陜西西安 710049;2.西安科技大學理學院,陜西西安 710054)

利用多值半流方法研究三維有界區域上Navier-Stokes方程的全局吸引子,證得了多值半流的一些性質,并將這些性質應用于三維Navier-Stokes方程,得出了弱解的幾種全局吸引子.從而表明在三維情形,通過多值半流來研究Navier-Stokes方程的全局吸引子是可行的.

Navier-Stokes方程;多值半流;吸引子

1 引言

Banach空間中的非線性算子半群理論是研究無窮維動力系統的定性行為的重要的數學工具.應用這種理論,在過去幾年中,得到了關于發展微分方程的吸引子的許多結論[12].然而,這種理論不能應用到解不唯一的一類初-邊值問題,例如三維Navier-Stokes方程.為了對諸如這類的微分方程系統進行定性分析,將一般的半群理論拓展到多值半群理論是非常必要的.為此,產生了多值動力系統理論.

目前,多值動力系統理論已經被應用到一些發展方程中去[34].1998年,Melnik[3]定義了多值半流理論,并將其應用到某類微分包含動力系統中,這類動力系統當初值給定時解不唯一.二維Navier-Stokes方程的全局吸引子的存在性無論是在有界還是無界區域上、自治還是非自治情形都已經得到解決[56].近幾年,有一些關于三維Navier-Stokes方程的弱解的漸進行為的研究[710].三維情形有兩個困難需要克服,一方面,尚不清楚三維Navier-Stokes方程的弱解是否唯一;另一方面,也是主要問題,即缺乏弱解關于時間的連續性,直至現在,只證明了弱解在相空間的弱拓撲下關于時間連續.

本文介紹了多值半流的基本概念,更進一步地討論了多值半流的一些具體性質,并利用這些性質討論了三維有界區域上自治Navier-Stokes方程的幾個全局吸引子.

2 多值半流的基本概念

設X是一個完備的度量空間.R+=[0,+∞),P(X),β(X),C(X)分別表示X的所有非空、非空有界、非空閉集.

3 多值半流的一些具體性質

4 在三維Navier-Stokes方程中的應用

[1]李全國.Hodgkin-Huxley系統的漸進穩定性[J].純粹數學與應用數學,2008,24(2):224-227.

[2]Temam R.Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics[M].New York:Springer-Verlag, 1988.

[3]Melnik V S,Valero J.On attractors of multivalued semiflow and differential inclusions[J].Set-Valued Analysis, 1998,6:83-111.

[4]Chepyhov V V,Vishik M.Trajectory attractors for evolution equations[J].CR Acad.Sci.Paris,1997,321(10): 1309-1314.

[5]Rosa R.The global attractors for the 2D Navier-Stokes flow on some unbounded domains[J].Nonlinear Analysis,1998,32(1):71-85.

[6]Hou Y,Li K.The uniform attractors for the 2D non-autonomous Navier-Stokes flow in some unbounded domain[J].Nonlinear Analysis,2004,58(5):609-630.

[7]Sell G.Global attractor of the three-dimensional Navier-Stokes equations[J].J.Dynamics Differential Equations,1996,8:1-33.

[8]Cutland N J.Global atractors for small samples and germs of 3D Navier-Stokes equations[J].Nonlinear Analysis,2005,62(2):265-281.

[9]Cheskidov A,Foias C.On global attractors of the 3D Navier-Stokes equations[J].J.Differential Equations, 2006,231(2):714-754.

[10]Kapustyan A V,Valero J.Weak and strong attractors for the 3D Navier-Stokes system[J].Journal of Differential Equations,2007,240(2):249-278.

[11]Ball J M.Continuity properties and global attractors of generalized semiflows and the Navier-Stokes equations[J].J.Nonlinear Sci.,1997,7:475-502.

The theory of multi-valued semiflow and its application to three-dimensional Navier-Stokes equations

SONG Xue-li1,2,HOU Yan-ren1

(1.College of Science,Xi’an Jiaotong University,Xi’an710049,China;
2.College of Science,Xi’an University of Science and Technology,Xi’an710054,China)

This paper is using the multi-valued semiflow method to study the attractor of three-dimensional Navier-Stokes equation on some bounded domains,some properties of multi-valued semiflow are obtained.Then, applying these properties to three-dimensional Navier-Stokes equations,several global attractors of weak solutions are obtained.So,it indicate that using multi-valued semiflow to study the global attractor of Navier-Stokes equation in three-dimensional case is feasible.

Navier-Stokes equation,multi-valued semiflow,global attractor

O175.4

A

1008-5513(2009)04-0737-06

2008-03-31.

國家自然科學基金(10871156).

宋雪麗(1979-),博士生,講師,研究方向：無窮維動力系統.

2000MSC:35B40,35B41