關于左型A半群上的fuzzy同余

李春華,劉二根,徐保根

(華東交通大學基礎科學學院,江西南昌 330013)

關于左型A半群上的fuzzy同余

李春華,劉二根,徐保根

(華東交通大學基礎科學學院,江西南昌 330013)

引入了左富足半群上fuzzy右好同余和fuzzy右消去同余的概念,給出了左富足半群上fuzzy右好同余的性質和特征.在此基礎上,給出了左型A半群上fuzzy右好同余和fuzzy右消去同余的性質.得到了左型A半群上的fuzzy右好同余為fuzzy右消去同余的充要條件.

左富足半群;左型A半群;fuzzy右好同余;fuzzy右消去同余

眾所周知,半群同余是刻畫半群性質最深刻的工具之一.自Samhan在文[1]中定義了半群上的fuzzy同余關系,對半群上的fuzzy同余進行了研究之后,國內外許多學者對各類半群上的fuzzy同余進行了卓有成效的研究[25].作為后續研究,本文進一步定義了左富足半群上的fuzzy右好同余和fuzzy右消去同余的概念,并給出了左富足半群上fuzzy右好同余的性質和特征.在此基礎上,給出了左型A半群上fuzzy右好同余和fuzzy右消去同余的性質[67].得到左型A半群上的fuzzy右好同余為fuzzy右消去同余的充要條件.

1 預備知識

文中一般定義及記號均參見文[8-9].

設X是一個非空集合,稱映射f:X→[0,1]為X的一個fuzzy子集.?x∈X,稱f(x)為x對f的隸屬度.令S為半群,稱映射μ:S×S→[0,1]為S上的fuzzy關系.

定義1.1[8]令μ,ν為半群S上的兩個fuzzy關系,作如下定義:

(1)μ?ν??x,y∈S,μ(x,y)≤ν(x,y);(2)μ?ν(a,b)=∨x∈S{μ(a,x)∧ν(x,b)}.

定義1.2[8]令μ為半群S上的fuzzy關系,則稱μ為半群S上的fuzzy等價關系,如果?a,b∈S下列各款成立:(1)μ(a,b)=1;(2)μ(a,b)=μ(b,a);(3)μ?μ?μ.

定義1.3[8]令μ為半群S上的fuzzy關系,則稱μ在S上關于乘法是相容的,如果?a,b,x∈S下列各款成立:(1)μ(ax,bx)≥μ(a,b);(2)μ(xa,xb)≥μ(a,b).

半群S上的fuzzy等價關系μ稱為S的fuzzy同余,如果μ在S上關于乘法是相容的.為方便記,用μa表示半群S上所有與a具有μ關系的fuzzy子集;用Cρ表示半群S上的二元關系ρ的特征函數.不難驗證,ρ為S上的同余等價于Cρ為S上的fuzzy同余.令μ為半群S上的fuzzy同余,按如下定義乘法“?”:μa?μb=μab(?a,b∈S),則容易驗證S/μ={μa|a∈S}關于乘法?為半群且?e∈E(S),μe=(μe)2.

引理1.1[8]令μ為半群S上的fuzzy同余,則

(1)?a,b∈S,μa=μb?μ(a,b)=1;

(2)β={(a,b)∈S×S|μ(a,b)=1}為S上的同余.

Fountain在文[9]中定義了半群S上的等價關系R?,S的元素a,b符合關系R?當且僅當(?x,y∈S1)(xa=ya?xb=yb),其中S1=S∪{1}.

引理1.2[9]令S為半群,a,b,e=e2∈S,則以下各款等價:

(1)aR?e;

(2)a=ea且?x,y∈S1,xa=ya?xe=ye.

一般地,R?R?,但當a,b是正則元時,aR?b當且僅當aRb.為方便記,用Ra?表示含a的R?類, E(S)表示S中冪等元集.記a+為E(Ra?)中元.半群S稱為左富足的,若它的所有R?類都含冪等元.左富足半群S稱為左適當的,若它的所有R?類都含唯一冪等元且它的冪等元集為半格.顯然,冪等元集為半格的左富足半群為左適當半群.左適當半群S稱為左型A的,若對S中任意元素a及冪等元e,恒有ae=(ae)+a.

引理1.3[10]令S為左型A半群,a,b∈S,按如下定義關系σ

則σ為S上最小的右消去同余.

2 主要結果

[1]Samhan M.Fuzzy congruences on semigroups[J].Inform.Sci.,1993,74:165-175.

[2]Xie X Y.Fuzzy Rees congruences on senigroups[J].Fuzzy Sets and Systems,1999,102:353-359.

[3]Tan Y J.Fuzzy congruences on a regular semigroup[J].Fuzzy Sets and Systems,2001,117:447-453.

[4]Zhang C.Fuzzy congruences on completely 0-simple semigroups[J].Fuzzy Math.,2002,10:27-48.

[5]李春華.適當半群上的模糊好同余[J].南昌大學學報:理科版,2007,31(1):35-37.

[6]郭小江,田振際.右消去幺半群、左正則帶和左正則型-A幺半群[J].數學研究與評論,1999,19(3):563-568.

[7]Guo X J,Xie X Y.A note on left type-A semigroups[J].Semigroup Forum,1999,58:313-316.

[8]John N,Mordeson,Davender S,et al.Fuzzy Semigroups[M].New York:Springer-Verlag,2003.

[9]Fountain J B.Abundant semigroups[J].Proc.London Math.Soc.,1982,44:103-129.

[10]Fountain J B,Gomes G M S.Proper left type A monoids revisited[J].Glasgow Math.J.,1993,35:293-306.

On fuzzy congruences of left type-A semigroups LI Chun-hua,LIU Er-gen,XU Bao-gen

(School of Basic Science Departments,East China Jiaotong University,Nanchang330013,China)

This paper introduces the notions of a fuzzy right good congruence relation and a fuzzy right cancellative congruence relation on left abundant semigroups,and gives some properties and characterizations of fuzzy right good congruences on such semigroups.On this base,some properties of fuzzy right good congruences and fuzzy right cancellative congruences on left type-A semigroups are given.Finally,sufficient and necessary conditions for a fuzzy right good congruence on a left type-A semigroup to be fuzzy right cancellative are proved.

left abundant semigroup,left type-A semigroup,fuzzy right good congruence,fuzzy right cancellative congruence

O152.7

A

1008-5513(2009)04-0681-05

2008-02-10.

國家自然科學基金(10661007),江西省自然科學基金(07GZS0715),江西省教育廳基金(GJJ08254,GJJ07134),華東交通大學科研基金(01308136).

李春華(1973-),碩士,講師,研究方向：半群代數理論.

2000MSC:20M10