二階橢圓問題新混合元模型的超收斂分析及外推

石東洋,王慧敏,2

(1.鄭州大學(xué)數(shù)學(xué)系,河南鄭州 450052;2.河南工程學(xué)院數(shù)理科學(xué)系,河南鄭州 450007)

二階橢圓問題新混合元模型的超收斂分析及外推

石東洋1,王慧敏1,2

(1.鄭州大學(xué)數(shù)學(xué)系,河南鄭州 450052;2.河南工程學(xué)院數(shù)理科學(xué)系,河南鄭州 450007)

對二階橢圓問題通過“增補(bǔ)”辦法導(dǎo)出一個新的混合模型.在各向異性網(wǎng)格下,利用積分恒等式技巧得到了真解與ECHL元近似解的超逼近性質(zhì).同時基于插值后處理技術(shù)導(dǎo)出了整體超收斂.進(jìn)一步,通過漸進(jìn)誤差展開和分裂外推,得到了比通常的誤差估計(jì)更高一階的收斂速度.

新混合模型;各向異性網(wǎng)格;后處理技術(shù);超收斂;誤差展開及外推

1 引言

對二階橢圓問題

令u=▽p,則無論是Babuˇska-Brezzi混合元法[1]還是最小二乘有限元法(FOLS)[2-3],都不可能用L2(?)-元素作為u的逼近,通過“增補(bǔ)”辦法[4]得到一個新的混合模型,克服了上述缺陷,并給出了收斂性分析.但其要求剖分滿足正則性[5](即≤c,這里hK為剖分單元K的直徑,ρK為K的最大內(nèi)切圓直徑,c是一個常數(shù)).最近的一些研究[6-7]表明,這種假設(shè)對一些單元來說是不必要的,且對那些定義在窄邊區(qū)域上的問題如果用正則性剖分,計(jì)算量將非常大而無法承受.這時若利用各向異性網(wǎng)格則可以節(jié)約大量的自由度而獲得同樣的收斂效果.

本文針對這種新的混合模型,討論了ECHL混合元,并利用積分恒等式技巧得到超逼近性質(zhì).同時,通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)牟逯岛筇幚硭阕訉?dǎo)出了整體超收斂的結(jié)果.更進(jìn)一步經(jīng)插值后處理和分裂外推后,與通常的誤差估計(jì)相比收斂速度提高了一階.本文的結(jié)論不要求網(wǎng)格剖分滿足上述正則性條件.

2 二階橢圓問題及其逼近

3 基本估計(jì)式

4 ECHL元超逼近及超收斂

圖1 大單元~K

由文[9]的技巧可以驗(yàn)證上述構(gòu)造的插值后處理算子J2h具有各向異性特征,即α= (α1,α2),當(dāng)|α|=1時有

同文[10]可以驗(yàn)證,在上述條件下,對任意u∈(H2(?))2,p∈H3(?),插值算子I2h,J2h滿足

5 ECHL元的外推

為了得到外推的結(jié)果,對引理1的(7)式,引理2的(9)式進(jìn)一步展開.

引理3若p∈H4(?),對任意的v∈Vh,則有

利用文[8]中的思想構(gòu)造插值算子I3h,J3h,具體做法如下:

把相鄰的九個小單元Ki(i=1,2,···,9)合并為一個大單元ˉK,定義插值算子I3h,J3h使得在單元ˉK上對任意的(u,p),有

其中Ki(i=1,2,···,9),Zj(j=1,2,···,16)分別為小單元及它們的頂點(diǎn).

由文[9]的技巧可以驗(yàn)證,上述構(gòu)造的插值后處理算子J3h具有各向異性特征.

同文[10]可以驗(yàn)證,在上述條件下,對任意u∈(H3(?))2,p∈H4(?),插值算子I3h,J3h滿足

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[10]石東洋,梁慧.一個新的非常規(guī)Hermite型各向異性矩形元的超收斂分析及外推[J].計(jì)算數(shù)學(xué),2005,27(4):369-382.

Superconvergence analysis and extrapolation of a new mixed finite element model for second order elliptic problem SHI Dong-yang1,WANG Hui-min1,2

(1.Deparment of Mathematics,Zhengzhou University,Zhengzhou450052,China;
2.Department of Mathematics and Physics,Henan Institute of Engineering,Zhengzhou450007,China)

A new mixed finite element model for the second order elliptic problem is presented by supplementing way.The superclose properties of the exact solution and the approximate solution of ECHL element are derived through integral identity technique on anisotropic meshes.At the same time,based on the interpolated postprocessing technique,the global superconvergence is obtained.Furthermore,one order higher convergence rate than the general error estimate is derived using asymptotic error expansion and the extrapolation.

new mixed finite element model,anisotropic meshes,postprocessing technique,superconvergence, error expansion and extrapolation

O242.21

A

1008-5513(2009)04-0630-08

2007-06-08.

國家自然科學(xué)基金(10671184).

石東洋(1961-),博士,教授,研究方向：有限元方法及應(yīng)用.

2000MSC:65N30,65N15