具有脈沖擾動和非單調功能反應的三種群捕食系統的分析

陳以平,謝君輝

(1.湖北民族學院理學院,湖北恩施 445000;2.湖南師范大學數學系,湖南長沙 410081)

具有脈沖擾動和非單調功能反應的三種群捕食系統的分析

陳以平1,謝君輝2

(1.湖北民族學院理學院,湖北恩施 445000;2.湖南師范大學數學系,湖南長沙 410081)

研究一類具有脈沖效應和非單調功能反應的兩個捕食者一個食餌害蟲控制系統.通過脈沖微分方程的Floquet理論和小幅擾動方法,證明了當脈沖周期小于某個臨界值時,系統存在一個漸近穩定的害蟲根除周期解,否則系統是持續生存的.最后,通過數值實例,給出了一簡單討論.

兩個捕食者一個食餌模型；脈沖作用；滅絕性；持續生存

1 引言

害蟲控制是關系到經濟發展的一個非常重要的問題.防治害蟲的方法很多,其中綜合害蟲管理(IPM)是一套害蟲治理系統,這個系統考慮到以較低的成本和對環境較小的影響,利用所有適當的方法(包括生物的、化學的策略)盡可能相互配合的方式,將害蟲控制在可容忍的水平以下.基于IPM策略,近些年來,國內外不少學者相繼提出了一系列模型來討論害蟲管理問題[15].由于害蟲的天敵往往不只一種,而研究脈沖投放多個天敵的多種群捕食系統的相關報道很少.本文將考慮一類具固定時刻脈沖和非單調功能反應函數的兩個捕食者一個食餌系統,模型形式如下

這里,x(t)表示食餌(害蟲)在時刻t的種群密度,yi(t)(i=1,2)分別表示兩個捕食者(天敵)在時刻t的種群密度,a10是食餌內稟增長率,a11是食餌的密度制約系數,a20,a30分別是兩個捕食者的死亡率,0≤pi＜1(i=1,2,3)為每次噴灑農藥而減少的害蟲和天敵的比例,ui＞0(i=1,2)是每次投放的天敵數量,T是脈沖效應的周期,n∈Z+,Z+= {1,2,3,…},?x(t)=x(t+)?x(t),?yi(t)=yi(t+)?yi(t)(i=1,2),a13,a14,a23,a34,a均為正常數,a1ix(t)/(a+x2(t))(i=3,4)是功能性反應函數.滅絕與持續生存在生態系統的研究上是兩個非常重要的概念,本文將研究系統(1)的滅絕與持續生存性.

2 基本引理

3 滅絕與持續生存

下面考慮系統(1.1)的永久持續生存性,先給出其定義.

定義3.1如果存在不依賴于系統初值的常數M≥m＞0和有限時間T0,使得系統(1.1)所有初值為x(0+)＞0,yi(0+)＞0(i=1,2)的解(x(t),y1(t),y2(t)),當t≥T0時,都有m≤x(t)≤M,m≤yi(t)≤M(i=1,2),則稱系統(1.1)是一致持續生存的.

4 討論

本文基于害蟲管理的生物控制和化學控制策略,提出并研究了一類具有脈沖效應和非單調功能反應的兩個捕食者一個食餌系統.證明了當脈沖周期小于某個臨界值時,系統存在一個局部漸近穩定的害蟲根除周期解,否則系統是持續生存的.下面通過數值實例驗證上述結果的正確性.例:取系統(1.1)中的參數值為a10=0.9,a20=0.7,a30=0.8,p1=0.2, p2=0.05,p3=0.05,u1=0.2,u2=0.2,a=0.1,a13=0.9,a23=0.9,a14=0.8,a34=0.7, a11=0.8,x(0)=0.5,y1(0)=y2(0)=0.1,由定理3.1及定理3.2中的條件,直接計算得臨界閥值Tmax≈5.322 2.若取T=5.25,數值模擬結果表明食餌種群x(t)趨于滅絕,捕食者種群y1(t),y2(t)周期振蕩(見圖1)；若取T=5.4,數值模擬結果表明食餌種群x(t)和捕食者種群y1(t),y2(t)共存于一個T-周期軌道上(見圖2).

圖1 當T=5.25時,各種群的時間序列圖

圖2 當T=5.4時的相圖

另外,如果只采取化學控制,即ui=0,i=1,2,其它參數不變,則Tmax≈0.247 9,這表明要噴灑更多的殺蟲劑,才能使害蟲根除;如果只采取生物控制,即pi=0,i=1,2,3,其它參數不變,Tmax≈5.0794,這表明要釋放更多的天敵,才能使害蟲根除.因此,考慮到殺蟲劑對環境的污染,害蟲的抗藥性以及天敵的數量、釋放天敵的成本等因素,綜合害蟲管理是最有效的.

[1]Liu B,Zhang Y J,Chen L S.The dynam ical behaviors of a Lotka-Volterra predator-p rey model concerning integrated pestm anagem ent[J].Nonlinear Analysis:RealWorld App l.,2005,6:227-243.

[2]Liu X N,Chen L S.Com p lex dynam ics of Holling type IILotka-Volterra predator-prey system with im pulsive perturbations on the p redator[J].Chaos Solitons and Fractals,2003,16:311-320.

[3]張樹文,陳蘭蓀.具有脈沖效應和綜合害蟲控制的捕食系統[J].系統科學與數學,2005,25(3):264-275.

[4]W ickw ire K.Mathem aticalmodels for the controlof pests and infectious diseases:a survey[J].Theor.Popul. Biol.,1977,8:182-238.

[5]任慶軍,竇霽虹.具有非單調功能反應和脈沖擾動的捕食系統的分析[J].純粹數學與應用數學,2006,22(4):444-448.

[6]Bainov D D,Simeonov P S.Im pu lsive Differential Equations:Periodic Solutions and App lications[M].New York:John W iley and Sons,1993.

[7]Lakshm ikantham V,Bainov D D,Simeonov P S.Theory of Im pulsive Differential Equations[M].Singapore: World Scientific,1989.

A nalysis of a three-species predator-p rey system with im pulsive pertu rbations and non-monotonic functional response

CHEN Yi-ping1,XIE Jun-hui2

(1.School of Science,Hubei Institute for Nationalities,Enshi 445000,China; 2.Department of Mathematics,Hunan Normal University,Changsha 410081,China)

A two-predator one-prey system with im pulsive effect and non-monotone functional response for pest control is p roposed and analyzed.By using the Floquet theory of im pu lsive differential equation and sm all am p litude perturbation skills,it is proved that there exists an asym ptotically stable pest-eradication periodic solution when the im pu lsive period is less than some critical value.O therw ise,the system can be perm anent. Lastly,a brief discussion are given by num erical simu lation.

two-predator one-p rey system,im pulsive effect,extinction,permanence

O175.12

A

1008-5513(2009)02-0332-07

2007-09-04.

湖北省教育廳科研項目(B 20082905),湖北省高等學校優秀中青年團隊計劃項目(T 200804).

陳以平(1966-),副教授,研究方向：微分方程理論及應用、生物數學.

2000M SC:34D 05,34D 20