一般混合似變分不等式的隱式迭代算法

萬波,江曉濤,曹于忠

(重慶工商大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,重慶 400067)

一般混合似變分不等式的隱式迭代算法

萬波,江曉濤,曹于忠

(重慶工商大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,重慶 400067)

對一般混合似變分不等式的若干隱式迭代算法進(jìn)行了研究;利用一般混合似變分不等式與不動點問題和預(yù)解方程的等價關(guān)系,采用分裂技巧和自適應(yīng)迭代技巧結(jié)合,提出了一個求解一般混合似變分不等式的新的隱式迭代算法；并證明了該算法在算子T 是g-偽單調(diào)連續(xù)的條件下收斂.

變分不等式；預(yù)解方程；自適應(yīng)；隱式迭代

1 引言

一般混合似變分不等式是經(jīng)典變分不等式的一種重要推廣,在交通運輸,金融,經(jīng)濟,最優(yōu)化,市場平衡等實際問題中有著廣泛的應(yīng)用[17].在眾多求解一般混合似變分不等式的算法當(dāng)中,隱式迭代算法有著相當(dāng)重要的作用.最近幾年,文[1-3]先后提出了幾種新的和改進(jìn)的求變分不等式的隱式迭代算法.2007年,文[4]在文[3]中算法3.5的基礎(chǔ)上利用投影技巧提出了一個求解一般變分不等式的非精確隱式迭代算法,該算法相對文[3]中隱式算法3.5而言,運用了自適應(yīng)迭代技巧使得迭代參數(shù)ρ可以自動更好的調(diào)整;但是該算法的迭代條件需要算子T單調(diào)連續(xù).2006年,文[5]利用投影技巧并結(jié)合分裂技巧,自適應(yīng)迭代技巧給出了一個求解一般變分不等式的改進(jìn)的經(jīng)典隱式迭代算法.受文[5]的啟發(fā),文中利用預(yù)解算子并結(jié)合分裂技巧,自適應(yīng)迭代技巧提出了一個新的求解一般混合似變分不等式的隱式迭代算法,該算法在推廣文[5]結(jié)論的基礎(chǔ)上;考慮到二元非線性泛函的存在,改進(jìn)了文[5]中算法最后一步的迭代方向;通過求解一個二次函數(shù)的最大值找到了更合理的迭代步長并添加了松弛迭代因子使得自適應(yīng)的迭代步長更完善.最后證明了該算法在算子T是g-偽單調(diào)連續(xù)的條件下收斂.眾所周知,偽單調(diào)要比單調(diào)條件弱得多,因此降低了對條件的嚴(yán)格要求.

2 預(yù)備知識

設(shè)H是一個實Hilbert空間,其內(nèi)積和范數(shù)分別為〈…,…〉和‖…‖,K是一個H中的非空閉凸集.T,g:H→H是非線性連續(xù)映射,?(…,…):H×H→R∪{+∞}是一個關(guān)于兩個分量都連續(xù)的二元泛函.現(xiàn)在考慮文[3]中所研究的一般混合似變分不等式問題:求u∈H,使得

3 算法及收斂性

在該部分,本文提出一個新的算法5,并利用文[2-3,5]中的技巧討論了算法5的收斂性.引理3表明問題(1)和(7)等價.現(xiàn)在定義余函數(shù)

注1該算法和文[3]中算法3.3是不一樣的.當(dāng)?≡0時,算法2、算法3就分別退變成文[5]中算法3.2和算法3.3.現(xiàn)在換一種角度來考慮算法3,可以認(rèn)為由(11)式定義的g(y)是問題(1)的一個近似解,并且定義

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[3]Noor M A,Noor K I.On generalm ixed quasivariational inequalities[J].Journal of Op tim ization Theory and App lications,2004,120(3):579-599.

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[6]齊成輝,石超峰.廣義集值變分不等式的一類新的外梯度算法[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2006,22(2):194-197.

[7]萬波.廣義集值混合似變分不等式的迭代算法[J].西南師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2008,33(3):1-4.

Im plicit iterative methods for generalm ixed quasi-variational inequalities

WAN Bo,JIANG Xiao-tao,CAO Yu-zhong

(Mathem atics and Statistics College of Chongqing Technology and Business University,Chongqing 400067,China)

In this paper,we study several im p licit methods for solving general m ixed quasi-variational inequalites.It is well known that the general m ixed quasi-variational inequalities are equivalent to the fixed point prob lem s and the resolvent equations.Using this equivalence,combining sp litting methods and selfadaptive resolvent m ethod,we suggest and analyze a new im p licit iterative m ethod for solving generalm ixed quasi-variational inequalities.Thesemethods converge for g-pseudomonotone and continuous operators T.

variational inequalities,resolvent equations,self-adaptive,im p licit iterativemethods

O177.91

A

1008-5513(2009)02-0384-06

2007-04-23.

重慶市自然科學(xué)基金(CQSC(2007BA 2024)).

萬波(1979-),講師,研究方向：變分不等式及最優(yōu)化算法.

2000M SC:49H 09,49J40