關于代數多項式的一個積分表示式

巫朝霞,劉衛霞

(1.新疆財經大學應用數學學院,新疆烏魯木齊 830011;2.中國人民大學經濟學院,北京 100872)

關于代數多項式的一個積分表示式

巫朝霞1,劉衛霞2

(1.新疆財經大學應用數學學院,新疆烏魯木齊 830011;2.中國人民大學經濟學院,北京 100872)

研究了代數多項式導數的Bernstein不等式和M arkov不等式.通過代數多項式導數的一個積分表示式,給出這兩個著名不等式以及它們的離散形式的證明.

代數多項式；Cauchy積分公式；Bernstein不等式；M arkov不等式

1 引言

本文中用Πn表示n次復系數代數多項式全體,用Tn表示n次復系數三角多項式全體.用D表示單位圓盤{z:|z|≤1},用?D表示單位圓周{z:|z|=1}.對于p∈Πn用‖p‖D和‖p‖C[?1,1]分別表示多項式p(z)在D上和區間[?1,1]上的上確界范數.有如下的著名Bernstein不等式和M arkov不等式:

1941年,文[2]首先提出Markov不等式中的上界不必是|pn(z)|在整個區間[?1,1]上的上確界,可以改進為|pn(z)|在區間[?1,1]上的一些離散點上的上確界.這就是

定理DC[2]設pn(z)∈Πn,那么

其中c是常數,Cn(z)=cosn arccosz,z∈[?1,1],是第一類Chebyshev多項式(參見文[1]).

1985年,文[3]對Bernstein不等式進行了相應改進,得到如下不等式:

定理FRR[3]設pn(z)∈Πn,那么

2 幾個引理

2 定理的證明及其推論

參考文獻

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A integral rep resen tation of algeb raic polynomials

WU Zhao-xia1,LIUWei-xia2

(1.School of App lied Mathem atics,X in jiang University of Finance and Econom ics,U rm q,830011 China; 2.School of Econom ics,Renmin University of China,Beijing,100872 China)

In thispaper,we discuss the Bernstein’s inequality and Markov’s inequality for algebraic polynomials and its derivative.By using the integral representation for polynomial and its derivative,we give another proof of the discrete Bernstein’s inequality and asimilar outcome of Markov’s inequality.

algebraic polynomials,Cauchy integral formula,Bernstein’s inequality,M arkov’s inequality

O174.42

A

1008-5513(2009)02-0325-07

2008-06-10.

國家自然科學基金(10671155).

巫朝霞(1975-),碩士,講師,研究方向：主要從事高等數學的教學與研究.

2000M SC:41A 10,41A 25