基于Ｍａｔｌａｂ的離散卷積

摘 要：卷積運算廣泛用于通訊、電子、自動化等領域的線性系統(tǒng)的仿真、分析及數(shù)字信號處理等方面。在Matlab中可以使用線性卷積、圓周卷積和快速傅里葉運算實現(xiàn)離散卷積。線性卷積是工程應用的基礎，但圓周卷積和快速傅里葉運算實現(xiàn)線性離散卷積具有速度快等優(yōu)勢，圓周卷積采用循環(huán)移位，在Matlab中沒有專用函數(shù)，需要根據(jù)圓周卷積的運算過程編制程序代碼；快速傅里葉運算(FFT)是DSP的核心算法，在序列比較長時FFT是一種最合適的方法，運算速度快、程序簡單，序列越長其優(yōu)勢越明顯。以同一個例子介紹了進行離散卷積仿真運算的兩種方法與特點。

關鍵詞：Matlab；數(shù)字信號處理；離散卷積運算；快速傅里葉運算

中圖分類號：TP311文獻標識碼：B

文章編號：1004-373X(2009)05-125-02

Discreted Convolution Based on Matlab

LIU Guoliang

(Luoyang Institute of Science and Technology,Luoyang,471000,China)

Abstract：The convolution operation is widely applied in the field of linear system simulations,analysis and DSP design of communication,electronics,automatic system and so on,linear convolution,circular convolution and FFT for discreted convolution emulation operation can be adopted in Matlab.Linear convolution is the foundation of project application,but circular convolution and FFT in linear convolution have advantages of fast speed.Circular convolution adopts circulating shift,there is not privately function in Matlab,it needs to draw up program code according to the operational course of circular convolution.FFT is the major operation of DSP,when sequence grows fairly,FFT is a kind of most suitable method,it is more rapidly in operational speed and program simple,the longer of the sequence the more of its advantage.With a same example,to carry out characteristic and two kinds of method of emulation operation for discreted convolution are introduced.

Keywords：Matlab;DSP;discreted convolution operation;FFT

0 引 言

在數(shù)字信號處理(DSP)系統(tǒng)中，無論在時域或頻域都離不開卷積運算和快速傅里葉(FFT)運算。Matlab具有強大的矩陣運算能力，方便實用的繪圖功能和語言的高度集成性，在DSP開發(fā)中，使用Matlab可以快速對系統(tǒng)進行仿真運算。

設輸入信號為x(t)，其頻譜函數(shù)為X(jΩ)，該信號通過濾波器h(t)后，其輸出信號y(t)的頻譜函數(shù)Y(jΩ)是頻譜函數(shù)X(jΩ)與濾波器的頻譜函數(shù)H(jΩ)的乘積，即:

Y(jΩ)=X(jΩ)H(jΩ)(1)

該信號通過低通濾波器的示意圖如圖1所示。

而在時域，輸出信號y(t)實際是輸入信號x(t)與濾波器h(t)的卷積。就是說頻譜函數(shù)的乘積相當于時間函數(shù)的卷積，反之亦然。即：

y(t)=x(t)*h(t)=∫∞-∞x(τ)h(t-τ)dτ(2)

圖1 信號通過低通濾波器的示意圖

由于DSP主要依靠計算機完成，而計算機無論在時域或頻域只能處理有限長的離散信號，因此上述關系可表示為：

Y(ω)=X(ω)H(ω)(3)

y(n)=∑∞m=-∞x(m)h(n-m)=x(n)*h(n)(4)

式中：n表示離散時間；數(shù)字頻率ω=ΩT璼=2πf/f璼；f為輸入信號頻率；f璼,T璼為抽樣頻率和周期。

1 實現(xiàn)離散卷積的方法

可以使用線性卷積、圓周卷積實現(xiàn)離散卷積，也可以根據(jù)時域信號函數(shù)與頻譜函數(shù)的關系，使用快速傅里葉變換(FFT，IFFT)實現(xiàn)離散卷積。

1.1 圓周卷積

線性卷積是求離散系統(tǒng)響應的主要方法之一，許多重要應用都建立在這一理論基礎上,如卷積濾波等，專用函數(shù)conv(x,h)可完成線性卷積過程。

圓周卷積的計算速度要遠遠快于線性卷積，如果選擇圓周卷積的長度L≥N1+N2-1,則可以用圓周卷積取代線性卷積。方法如下:

(1) 定義圓周卷積的長度：選擇L=N1+N2-1。

(2) 將兩個序列的長度都補足為L:

將長為N1的序列x(n)延長到L,補L-N1個零，

將長為N2的序列h(n)延長到L,補L-N2個零。

(3) 反轉x(n)，周期延拓為序列 (n)，取主周期。

(4) 循環(huán)移位：與線性卷積不同，圓周卷積運算中采用的是循環(huán)移位，有限長序列x(n)的循環(huán)移位定義為：

f(n)=x((n+m))璑R璑(n)

其含義如下：

① x((n+m))璑 表示 x(n) 的周期延拓序列 (n)的移位：

x((n+m))璑=(n+m)

② x((n+m))璑R璑(n)表示對移位的周期序列x((n+m))璑取主值序列，所以f(n)仍然是一個長度為N的有限長序列。

為此定義一個位移函數(shù)cirshiftd.m如下：

%保存函數(shù)為cirshiftd.m

function fm= cirshiftd(x,m,N);

n=［0:1:N-1］;

fm=x(mod(n-m,N)+1);

這里的x即表示對向右移位N位的周期序列x((n+m))璑取主值序列的運算。

(5) 將序列x與h進行循環(huán)移位生成的矩陣H的轉置矩陣相乘，即完成將x(m)和h(n-m)所有對應項相乘之后相加，完成圓周卷積。

例：已知x=［1 2 3 2 ］和h=［1 1 1］，求兩序列的卷積。

用圓周卷積的計算程序如下：

%′圓周卷積′主程序

x=［1 2 3 2 ］;

h=［1 1 1］;

N=length(x)+length(h)-1;

x=［x,zeros(1,N- length(x))］;

h=［h,zeros(1,N- length(h))］;

n=［0:1:N-1］;

h=h(mod(-n,N)+1);

H=zeros(N,N);

for n=1:1:N

H(n,:)=cirshiftd(h,n-1,N);%調用位移函數(shù)

end

y=x*H′;

n0=［0:1:N-1］;

stem(n0,y);

title(′圓周卷積′);

xlabel(′( n )′);ylabel(′ y(n)′);

運行結果：y=［1 3 6 7 5 2 ］

1.2 線性卷積的FFT算法

FFT運算具有速度快、計算量小等優(yōu)越性，是DSP的核心算法。根據(jù)信號在時域與頻域的關系，可以用FFT計算線性卷積。方法如下:

(1) 定義長度：選擇N=N1+N2-1。

(2) 求兩個要卷積序列的N點頻譜函數(shù)：

求X(k)=FFT［x(n)］

求H(k)=FFT［h(n)］

(3) 將兩個頻譜函數(shù)相乘：

求Y(k)=H(k)X(k)

(4) 對乘積進行N點快速傅里葉反變換(IFFT)：

求y(n)=IFFT［Y(k)］

可見，只要進行二次FFT,一次IFFT就可完成線性卷積計算。在x(n)，h(n) 兩序列長度比較接近或相等的情況，當運算的序列長度 N＞32時,上述計算線性卷積的方法比直接計算線性卷積有明顯的優(yōu)越性，長度值越大優(yōu)勢越明顯。

上例用FFT運算的程序如下：

x=［1 2 3 2 ］;

h=［1 1 1］;

N= length(x) + length(h)-1;

X=fft(x,N);

H=fft(h,N);

Y=X.*H;

y=ifft(Y,N);

n=0:1:N-1;

stem(n,y);

title(′FFT 線性卷積′);

xlabel(′( n )′);ylabel(′ y(n)′);

2 結 語

用圓周卷積和FFT運算離散卷積具有很大優(yōu)勢，在Matlab中圓周卷積沒有專用函數(shù)，需要自己編制，在序列比較長時FFT是一種最合適的方法，可以快速得出仿真運算的結果。選擇圓周卷積或FFT運算線性離散卷積可提高DSP設計的效率。

參考文獻

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作者簡介

劉國良 男，1958年出生，計算機高級工程師。研究方向為計算機CAD設計、電子技術應用和無線電等。