恒成立問題中參數范圍的求解策略

含參數的恒成立問題是高中數學中的一類重要題型，也是高考命題的熱點問題。這類問題涉及的知識面廣，要求有較高的解題技巧，因此它又是學習中的難點問題。下面談談這類問題的求解策略，供大家參考。

一、分離參數——最值法

當問題中主元與參變元能分離時，可進行分離參數，構造輔助函數，將問題轉化為求輔助函數的最值問題來解決。

例1：已知定義在R上的奇函數f（x），且在（-∞，+∞）上是增函數，對任意實數θ∈R，求使得f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）>f（0）恒成立的實數m的取值范圍。

解：由f（x）是R上的奇函數可知f（0）=0，得 f（cos2θ-3）>-f（4m-2mcosθ），從而得f（cos2θ-3）>f（2mcosθ-4m），因為f（x）在（-∞，+∞）上是增函數，所以cos2θ-3>2m（cosθ-2）。∵θ∈R，∴cosθ-2<0，∴m> 對于任意實數θ∈R時恒成立。設函數g(θ)= ，即m大于g(θ)的最大值。而g(θ)= = =（cosθ-2）+ +4≤4-2 ，當且僅當cosθ=2- 時取“=”，故m>4-2 。

二、巧選主元——數形結合性質法

當問題中主元與參變元不能分離，或以其中一元為主元問題較復雜，可交換位置確定主元，將問題轉化為以新主元為自變量的函數，然后數形結合，巧妙解答。

例2：已知f(t)=log t，t∈［ ，8］，對于f(t)值域內的所有實數m，不等式x +mx+4>2m+4x恒成立，求x的取值范圍。

解：∵t∈［ ，8］，∴ f(t)∈［ ，3］即m∈［ ，3］。設g(m)=(x-2)m+x -4x+4，不等式x +mx+4>2m+4x對于m∈［ ，3］恒成立，即g(m)>0對于m∈［ ，3］恒成立。由一次函數圖像性質可知：g( )>0且g(３)>0，故x<-1或x>2。

三、不變主元——直接法

不變主元，設出新函數，從參數入手分類討論。

例3：（2007年高考題）設函數f(x)=e -e ，若對所有x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范圍。

解：令g(x)=f(x)-ax，則g′(x)=f′(x)-a=e +e -a。

由于e +e ≥2 =2，（當且僅當x=0時，等號成立）

（i）若a≤2，當x>0時，g′(x)=e +e -a>2-a≥0，故g(x)在(0，+∞)上為增函數。

所以，x≥0時g(x)≥g(0)，即 f(x)≥ax。

(ii)若a>2，方程 g′(x)=0的正根x =ln ，

此時，若x∈(0，x )，則g′(x)<0，故g(x)在該區間上為減函數。

所以，x∈(0，x )時，g(x)

綜上，滿足條件的a的取值范圍是（-∞，2］。

四、巧設函數——圖像法

當問題直接入手不易解答時，我們可以根據題目所給不等式進行恰當變形后，巧設函數，再由函數圖像之間的關系予以解答。

例4：設有函數f(x)=a+ 和g(x)= x+1，已知x∈［-4，0］時恒有f(x)≤g(x)，求實數a的取值范圍。

解：f(x)≤g(X)即a+ ≤ x+1，移項得 ≤ x+1-a，

設函數h(x)= ，k（x）= x+1-a，欲使x∈［-4，0］時f(x)≤g(x)恒成立，只須x∈［-4，0］時函數h(x)的圖像不在函數k(x)的圖像上方，而函數h(x)= （x∈［-4，0］）的圖像是半圓：（x-2） +y =4(y≥0)，函數k(x)= x+1-a的圖像是直線：y= x+1-a，當直線與半圓相切時有： =2，解得：a=-5或 （舍）。

∵相切時直線的縱截距是6，∴1-a≥6，∴a≤-5即為所求。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”