立足概念教學，提高教學質量

摘要： 數學概念教學是落實數學雙基的前提，也是提高數學教學質量的關鍵環節。本文作者結合教學實踐，從體驗數學概念產生過程中認識概念，運用辯證唯物主義發展的觀點形成概念，在實際應用概念中不斷深化認識概念等方面闡述了初中數學概念教學的有關問題。

關鍵詞： 概念教學 認識概念 形成概念 應用概念

數學概念是數學基礎知識的基本內容，是構成數學知識體系的銜接鏈，數學全部內容的展開都基于這些數學概念之上。多年來的教學實踐，使筆者深刻地體會到：要想提高教學質量，教師用心講好概念是非常重要的，因為它既是落實雙基的前提，又是使學生發展智力、培養能力的關鍵。從過去數學教學的實踐看，對數學概念的講解并未引起足夠的重視，一些教師認為，概念的講解只要把數學名詞、術語講明白就可以了；還有些教師在講解概念時，不了解概念形成的過程，很少去研究概念教學的規律，在教學中也就無法闡明概念在解題中的作用。課改之后，新的教學理念形成，數學概念的教學也越來越受到教育工作者的重視。因為學生只有清楚概念，解答數學題的思路才能清楚，才能進行分析推理，邏輯思維能力和解題能力才能不斷提高，因此，在教學中如何使學生形成概念，正確地掌握和運用概念是極為重要的。筆者認為，從某種意義上說，數學教學過程，就是“概念的教學”，我們要把概念教學放到突出地位。現就新教材概念教學談幾點具體體會。

一、在體驗數學概念產生的過程中認識概念

任何一個概念的形成都經歷著由感性到理性的抽象概括過程。如果在教師的指導下，學生能夠主動參與形成規律的揭示，那么就能領悟到知識形成過程中蘊涵的思想方法，知其然且知其所以然，避免囫圇吞棗，死記硬背。我們可以通過以下的逐步發生過程去理解它、掌握它。

1.創設情境，孕伏發生。

從概念的同化來說，要想掌握新概念，學生必須掌握那些作為定義項的概念，從新概念的形成來說，學生必須具有刺激模式方面的有關知識和經驗，否則，就不可能從中抽象出本質的屬性。因此，教師在教學中，為了使學生易于接受和掌握數學概念，應事先創設學習概念的情境，想方設法喚起學生原有認知結構中的有關知識和經驗。例如，學習絕對值概念時，不妨創設如下情景：有理數是由________組成，它們在數軸上的相應位置是：負有理數在數軸上原點的________邊，零對應數軸上的________點，正有理數在數軸上原點的_______邊。在現實生活中，一個物體的重量（或長度）用有理數表示時會出現負數嗎？

2.直觀形象，自然發生。

數學概念本身是抽象的，借助直觀來認識概念，符合數學學科數形結合的特點，也遵循學生認知的規律。“形”提供了直觀的圖像，將概念所反映的抽象內涵通過直觀展示出來，使概念建立在對事物具體形象的感性認識上，增強了學生對事物的分析認識能力。因此，有些概念可借助于生動形象的直觀模型和教具，使學生從感性認識逐步上升到理性認識，形成清晰的概念。如，“平面”這個概念，可從常見的桌面、黑板面、平靜的水面等物體中抽象出來，在講解中只要突出“無限延伸性和沒有厚度”的本質特征即可。再如，“圓柱”、“棱柱”、“棱錐”等幾何體的概念，給學生直觀的模型比十句語言更有效。

教師還要借助直觀形象引導學生觀察、分析、概括、總結，使學生從形象、生動的直觀反應中，認識概念所包涵的豐富內容，同時增強課堂的趣味性、生動性，激發學生的學習興趣。例如學習絕對值概念，教材中定義了“一個數的絕對值就是數軸上表示數a的點與原點的距離”，對絕對值的非負性學生容易接受，但對兩個互為相反的數歸結于有同一個絕對值，學生則不易正確掌握，在解答類如“若|a|=5，則a=_______”的這種問題時填不完備。教學中借助數軸，直觀地用一個小車從兩個方向進行運動，先讓學生理解距離的含義，認識同一距離值的情形在數軸上有雙重性，使得互為相反的兩個數的絕對值相等。借助數軸的直觀特性，學生對絕對值概念的抽象意義能夠準確把握，同時會對擴展的有理數域有較為透徹的認識。

3.以舊引新，順勢發生。

數學中的有些概念，往往難以直觀表述。教師在備課時要分析這個新概念有哪些舊知識與它有內在的聯系與區別，利用學生已掌握的舊知識講授新概念，以利于學生接受并掌握概念的本質。正如蘇霍姆林斯基所說：“教給學生能借助已有的知識去獲取知識，這是最高的教學技巧之所在。”從心理學來分析，無恐懼心理，學生容易活躍；無畏難情緒，易于啟發思維；舊知識記憶好，容易受鼓舞。課堂教學最活躍最積極的時候，就是在已會知識的基礎上啟發誘導學習新知識之時，所以運用舊知識引出新概念教學效果好。例如：學習一元一次不等式概念時，可引導學生和一元一次方程的概念相比較。

再如：在數軸上有A、B兩點（人），A點在數軸上原點右邊的“2”上，即對應有理數“2”。而B點在數軸上原點左邊的“-3”上，即對應有理數“-3”，問：

（1）A點到原點的距離是“2”嗎？為什么？

（2）B點（人）到原點的距離是“-3”嗎？為什么？

對（2）因為B點離開原點3個單位，所以距離應是3，即-3的相反數。這里的結論發生了質的飛躍，由“-3”躍到“3”，即有負有理數變為它的相反數——正有理數。這里的思維不應停留在“-3”上，應考慮數軸上兩點間的距離——正有理數。

4.思維深入，構建發生。

教師在自然引入概念后，就要不斷把學生的思維引向深入，從而讓學生自主建構概念。再拿上例說事，我們不去研究A點（人）在數軸上對應點的數值“-3”，而要研究A離開原點的距離，即如何構建一個數學方法，使“-3”變為“3”，我們聯想到測量兩點之間距離時，人們是用兩支標桿立在兩點上，測量兩桿之間的長度就是兩點之間的距離，也就是不論是從甲桿量到乙桿，還是從乙桿量到甲桿，都是同一數值（距離），與方向（正負）無關，一律是非負的；對于這類數，我們只要在這個數的兩側加上兩支標桿“| |”就可達到目的，即正數的兩側加上“| |”（絕對值）就是它本身，零兩側加上“| |”（絕對值）仍是零，負數兩側加上“| |”（絕對值）就是它的相反數。

通過上述的知識“發生”，可以使學生初步體會到新的數學概念的產生過程及其現實背景，同時可以使他們初步理解新概念的含義，這時再去學習該概念就水到渠成了。

二、運用辯證唯物主義發展的觀點形成概念

數學概念本身是發展的，應在認識過程中循序漸進，逐步深化，在新理論層次上加深有關舊概念的理解。隨著學生所掌握的數學結構知識的加深，舊概念又可獲得高層次的理解，成為高層次的新概念。概念的層次性，也就要求教師教學的層次性。隨著學生所學知識的增加，學生不但掌握了概念的內涵和外延，對概念的理解也逐步加深。發展性概念的出現，要求我們要注意概念的廣度、深度，分階段教學，不能一次性教給學生，如果那樣的話，學生會感覺應接不暇，難以理解，造成對數學學習失去興趣，得不償失。教師應引導學生運用辯證唯物主義發展的觀點形成概念。

1.揭示本質，理解概念。

數學概念是經過抽象概括、精心提煉而形成的簡潔語句，高度概括反映了某一事物的本質屬性。因此一個概念中所含的數學術語較多，它們是構成概念的“珍珠”，教學概念就是對這些“珍珠”進行剖析、認識，并將它們有機地串連起來。在概念教學中，要善于為學生創造條件，引導他們通過觀察和思考探求概念的含義，沿著由感性認識到理性認識的認知過程去掌握概念。這樣，可以培養學生的邏輯思維能力。例如，“同類項”的概念。教師可先在黑板上板書這樣一個多項式：

4xy +3x -2xy-5xy +7+4x -10-x -6x y

其中的4xy 和-5xy 用紅線畫出，然后教師設問：比較劃紅線的項，試找出這些項區別于其他項的共同特征。學生可能會回答他們所含的字母相同，都是xy。師：第三項-2xy中所含的字母也是xy。生：劃紅線的項的次數相同，都是3次。師：最后一項-6x y也是三次項。生：劃紅線的項中，相同字母的指數也分別相同。這樣，通過不斷的啟發提問，學生在不斷地觀察中把同類項的本質特征逐一認識。

2.縱橫聯系，掌握概念。

數學中許多概念是典型的屬加種差概念，邏輯關系鮮明，相互聯系密切。通過縱橫溝通，既可使學生觸類旁通，舉一反三，又能使學生在頭腦中構建思維的框架，將所學知識進行有機的整理，形成知識網絡。如四邊形、正方形、矩形、平行四邊形、菱形等幾何圖形概念，相互包含層次分明，通過比較分析，整理成關系圖，學生就能準確認識各圖形的本質特征和相互關系。又如“互為補角”與“鄰補角”兩個概念，都反映了兩個角的和為一個平角，但鄰補角的條件更嚴格一些，它是有特殊位置關系的兩個互補的角，不僅要求兩角的和為一個平角，而且要求兩個角有一個公共頂點和一條公共邊。對相近相關概念的縱向聯系及橫向比較，能使學生對概念的認識更加透徹，也能培養學生對知識重新加工和整理的能力，提高學習質量。

3.反復練習，鞏固概念。

在正面闡述概念的本質屬性后，適當地安排練習作鞏固，是有效的，也是必要的。例如，引入因式分解概念后，可選下列題讓學生回答：

下列有左邊到右邊的變形，哪些是因式分解？為什么？

（1）（x+2）（x-2）=x -4；（2）a -6a=a（a-6）；

（3）x -y +1=（x+y）（x-y）+1；（4）x y+x=x （y+ ）；

（5）x +3x-4=（x+4）（x-1）

讓學生先根據因式分解的含義分析、判斷，再全班交流。當學生的見解發生分歧時，及時組織學生小組討論，加深對因式分解概念的理解。

4.角度透視，厘清概念。

概念引入后，還應從反面去消除模糊認識，嚴格區分易混淆概念。

如，講“三線八角”后，可設計一些稍復雜的圖形提問（如下圖），下列敘述正確嗎？

∠1與∠2是同位角；∠3與∠4是同位角；∠5與∠6是內錯角。

這樣，學生就能認準對象，概念清晰，不易混淆。

三、在實際應用概念中不斷深化認識概念

數學來源于生活，是對實際問題的抽象與概括。培養學生的數學學習能力，不能脫離實際而空談，導致數學學習變得枯燥和乏味，數學方法趨于死板和僵化。概念的獲得是由個別到一般，概念的應用則是從一般到個別。學習數學概念的目的，就是用于實踐。因此要讓學生通過實際操作去掌握概念，升華概念。由于學生掌握概念不是靜止的，而是主動在頭腦中進行積極思維的過程，它不僅能使已有知識再一次形象化具體化，而且能使學生對概念的理解更全面、更深刻，因此，我們要把概念教學與定理、公式及解題融為一體，使學生在運用中加深對概念的理解。如，方程的“根”和函數的“零點”，在教學中如果把這兩個概念與根的判別式、函數的性質、絕對值的概念等有關知識割裂開，學生就不能熟練地運用。

例：已知函數y=ax +bx+c的圖像如右圖，若|OA|=|OC|，求a、b、c的關系。

分析：∵|OA|=|OC|，又C是拋物線與y軸的交點，∴OC=c＞0，而A點在x軸的負半軸，且|OA|=|OC|，∴OA=-c，即點A的坐標為（-c，0），A點即為拋物線與x軸的交點（函數的零點），∴a(-c) +b(-c)+c=，即c(ac-b+1)=0，∵c＞0，∴ac-b+1=0。

由上題，我們可以得出這樣的結論：加深對概念的理解，是提高解題能力的基礎；反過來，只有通過解題的實踐，才能加深對概念的理解。

總之，基本概念的教學，既是落實“雙基”的前提，又是發展學生智力、培養學生能力的關鍵，也是提高數學教學質量的重要保證。因此，我們在教學中必須克服對概念教學的片面認識，要把概念教學放在重要位置。同時我們必須考慮到概念教學的三個方面的因素：學生的知識結構、智力、態度與需要；概念的不同類型、定義的邏輯結構、概念的發展；教師的風格、意圖與背景資料以及教學技術。教師應根據學生的生活實際及年齡特點及教學規律，合理采用各種教學手段與方法來進行教學，想盡一切辦法把概念課上得生動有趣，豐富多彩，使學生在歡快的氣氛中，樂學、想學、勤學、創造性地學，從而提高課堂教學效率，為學生的后繼學習打下堅實的基礎。

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注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”