經濟數學模型的構建及對庫存問題的解決

[摘 要] 文章介紹了在經濟領域中進行數學建模的重要性，探討了數學經濟建模的基本步驟，并把該理論應用到經濟流通領域的重要問題庫存上，通過建立數學建模加以解釋說明。

[關鍵詞] 經濟 數學模型 基本步驟 庫存問題

一、經濟數學建模及其重要性

數學經濟建模就是為了經濟目的，用字母、數字及其他數學符號建立起來的等式或不等式以及圖表、圖象、框圖等描述客觀事物的特征及其內在聯系的數學結構的刻劃。而現代世界發展史證實其經濟發展速度與數學經濟建模的密切關系。在經濟決策科學化、定量化呼聲日漸高漲的今天，數學經濟建模更是無處不在。

二、建立經濟數學模型的基本步驟

總的說來數學經濟建模大致可以分為三個階段;1.從現實經濟世界進入數學世界;2.在數學世界中活動——對數學模型進行研究;3.從數學世界回到現實經濟世界。具體建立模型的基本步驟:(1)模型準備。首先要深入了解實際經濟問題以及與問題有關的背景知識，對現實經濟現象及原始背景進行細致觀察和周密調查，以獲取大量的數據資料，并對數據進行加工分析、分組整理。(2)模型假設。通過假設把實際經濟問題簡化，明確模型中諸多的影響因素，并從中抽象最本質的東西。即抓住主要因素，忽略次要因素，從而得到原始問題的一個簡化了的理想化的自然模型。(3)模型建立。在假設的基礎上，根據已經掌握的經濟信息，利用適當的數學工具來刻畫變量之間的數學關系，把理想化的自然模型表述成為一個數學研究的題材——經濟數學模型。(4)模型求解。使用已知的數學知識和觀測數據，利用相關數學原理和方法，求出所建模型中各參數的估計值。(5)模型分析。求出模型的解后，對解的意義進行分析、討論，根據實際經濟問題的原始背景，用理想化的自然模型的術語對所得到的解進行解釋和說明。(6)模型檢驗。把模型的分析結果與經濟問題的實際情況進行比較，以考察模型是否符合問題實際，以此來驗證模型的準確性、合理性和實用性。如果模型與問題實際偏差較大，則須調整修改。

三、經濟模型舉例——庫存問題

庫存或存貯在生產系統，商業系統，乃至各個系統中都是一個重要的問題。需求可由庫存的輸出來供應和滿足，庫存也要由輸入來維持和補充，庫存起到調節供應與需求，生產與銷售之間不協調的作用。我們的問題是庫存數量為多少時最適宜。控制存貨數量的目的是把存貨總費用降低到最小。

下面我們以一道例題考慮兩種不同的經濟模型

例:某廠生產攝影機，年產量1000臺，每臺成本800元，每一季度每臺攝影機的庫存費是成本的5%;工廠分批生產，每批生產準備費為5000元;市場對產品一致需求，不許缺貨，產品整批存入倉庫。試確定經濟批量及一年最小存貨總費用。

模型一:考慮成批到貨，不允許短缺的庫存模型

所謂成批到貨，不允許短缺，就是每批產品或每次訂購的貨物整批存入倉庫，由倉庫均勻提取(因需求是一致的)投放市場，當前一批庫存提取完后，下一批貨物立即補足。

由于在一個計劃期內需求量是固定的，在這計劃期內，如果每批投產或每次訂購數量多，自然庫存量多，自然庫存量多，因而庫存費多;但是，這時因投產或訂購數少，因此生產準備費或訂購費少。如果每批投產或每次訂購量少，庫存費減少，但因投產或訂購次數多，自然，生產準備費或訂購費增多。在這兩種費用一多一少的矛盾情況下，我們的問題是，如何確定每批投產或每次訂購的數量，即選擇最有批量以使這兩項費用之和為最小。

進行如下假設:

D:一個計劃期內的需求數量，即生產或訂貨的總量;C1:一個計劃期內每件產品所付庫存費;C2:每批生產準備費或每次訂購費;Q:每批投產或每次訂貨的數量，即批量;E:一個計劃期內存貨總費用，即生產準備費或訂購費與庫存費之和。

存貨總費用E與每批數量Q的函數關系為:

現存的問題是:決策變量Q，使目標函數取極小值。

由極值存在的必要條件:或(1)

由上式解得(只取正值)(2)

由極值的充分條件:

所以，當批量時，總費用最小，其值:即 (3)

這就得到了求最優批量及最小總費用的一般表達式(2)和(3)。

由上述理論可作解答:由題設知，D=1000臺，C2=5000元，每年每臺庫存費:C1=800×5%×4=160(元)

存貨總費用E與每批生產臺數Q的函數關系:

有條件可得，經濟批量

一年最小存貨總費用

模型二:陸續到貨，不允許短缺的模型

陸續到貨，就是每批投產或每次訂購的數量Q，不是整批到貨，立即補足庫存，而是從庫存為零時起，經過一段時間才能全部到貨。因為生產準備費或訂購費與“成批到貨，不許短缺”庫存模型一樣，因此，存貨總費用E與每批數量Q的函數關系，即目標函數是

為決策變量Q，由極值的必要條件和充分條件，容易算得，經濟批量

這時，庫存總費用的最小值

最優批量Q*的表達式(6)也可由下式得到:

針對上述例題條件不變，再加入一條件:產品陸續存入倉庫，每月到貨200臺，試確定經濟批量和最佳費用。

解:已知條件是:

則可得經濟批量為327.3臺，這時最佳費用為30550元。

數學經濟建模應用非常廣泛，為決策者提供參考依據并對許多部門的具體工作進行指導，尤其是對未來可以預測和估計，對促進科學技術和經濟的蓬勃發展起了很大的推動作用。

參考文獻:

葉其孝:大學生數學建模競賽輔導教材[M].長沙:湖南教育出版社，1997