數形結合思想與解題教學研究

做任何事情都要講究方法。中學數學中掌握更多科學方法，是教師鉆研教材的鑰匙，具有積極的指導意義。數與形結合的思想，有助于學生思維的開拓、創新，提高學生的學習效果，使問題的解決具有獨特策略，把復雜問題簡單化、抽象問題具體化，達到化難為易的目的。

解題是實現中學數學教學的一種手段，是教學活動的重要形式。解題教學是教師對學生運用知識進行獨立思考活動的指導過程，也是使學生掌握數學基礎知識，培養基本技能，提高數學能力和發展智力的必要途徑。通過解題，我們還可以培養學生辯證唯物主義世界觀，以及刻苦鉆研精神和獨立工作能力等優良品質。

數學在其漫長的發展過程中，不僅建立了嚴密的知識體系，而且形成了一套行之有效的方法。一般認為數學思想方法的概括，是貫穿于該類數學方法中的基本精神、思維策略和調節原則。它制約著數學活動中主觀意識的指向，對方法的取舍具有規范和調節作用。形和數這兩個概念，是數學的兩塊基石。數學大體上都是圍繞這兩個概念的提煉、演變、發展而展開的。在數學發展過程中，形與數常常結合在一起，在內容上互相聯系，在方法上互相滲透，在一定條件下互相轉化。

早在數學的萌芽時期，人們在度量長度、面積和體積的過程中，就把數和形聯系起來了。我國宋元時期，系統引進了幾何問題代數化的方法，用代數式描述某些幾何特征，圓形中的幾何關系表達成代數之間的代數關系。17世紀，法國數學家笛卡爾，通過建立坐標系，建立了形與數之間聯系，創立了解析幾何學。后來，幾何學中許多長期沒有解決的問題，如盡規作圓三大不能問題，最終也都借助代數方法得到解決。形與數的內在聯系，也使許多代數學和數學分析課具有鮮明的直觀性，而且往往由于借用了幾何術語或運用了幾何的類比從而開拓了新的發展方向。例如，線性代數正是借用了幾何空間、線性等概念與類比方法，把自己充實起來，從而獲得迅猛的發展。形與數的結合正是在上述背景下逐步形成的。它在數學數學與數學發展中的重要意義，正如在《數學發展史》中法國數學家拉格朗日所指出：“只要代數同幾何分道揚鑣，它們的發展就緩慢，它們的應用就狹窄，但是兩門科學結合成伴侶的，它們就互相吸取新鮮的活力，從那以后，就以快速的步伐走向完善。”因此，在教學中我們必須重視形與數相結合思路的應用。

在現實世界中，形與數不可分離地結合在一起。這是直觀與抽象相結合、感知與思維相結合的體現。形與數相結合不僅是數學自身發展的需要，而且是加深對數學知識的理解、發展智力、培養能力的需要。從表面上看，中學數學內容可分為形與數兩大部分，中學代數是研究數和數量關系的學科，中學幾何是研究形和空間形式的學科，中學解析幾何是數與形結合的內容。從以下幾例便能說明其數形結合妙之所在。

1.研究數與數軸相結合。在中學所學的實數中，把每一個數與相應的點對應，把這些點按順序構成一條直線。又由數與數軸上的點反映了二者之間的“一一對應”關系，能直觀地通過數軸反映數之數之間的連續性、稠密性，使得中學數學更加具體、生動。

2.當在平面上建立了坐標系后，平面上的點與有序實數對之間建立起一一對應的關系，任何一條直線都可以寫成關于X、Y的二次方程，任何X、Y的二元一次方程都表示一條直線。這樣我們就可以利用直線的方程討論兩直線的位置關系、兩條直線所成的角、點到直線的距離，這種通過方程研究圖形性質的方法提示了“數”與“形”的內在聯系。首先根據圖形特點，建立適當的直角坐標系（所謂適當，就是保證題目的解證過程中運算簡便，過程簡單，結果明確）；其次根據已知條件，標出已知點坐標，給出已知直線或曲線的方程，然后由題設或圖形的幾何性質，已知的點或曲線方程，推導出要求或要證結果。由上題可看出，用這樣的方法解證題目，思維流暢，方法靈活，幾何問題完全通過代數方法得到解決。

“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”。“數形結合”仿佛神來之筆，為問題的解決提供了探索途徑，其獨到的思維風格給人以享受，并且帶給人以成功的巨大喜悅。

3.研究函數與其圖像相結合。函數是數學的概念之一。函數是貫穿整個數學的一個重要的、抽象的概念，函數作為兩個集之間的特殊關系貫穿整個數學課程。函數作為運算出現，例如兩個數的和與這個數對應；在初中代數中，函數表示兩個數量之間的關系：在幾何中函數表示下一個點集到它的象集的變換（平移、對稱、旋轉等）。如研究二次函數y=（x+a）2+b，根據作圖法畫函數的圖像，是一個由數到形的變化。對學生來說，圖像性質是最難掌握的，尤其二次函數的圖像的變化，需要高度的數形結合的思路，包括“看圖算數”與“以數想圖”兩方面。前面作圖時已有了數到形的變化。如果改變圖形的形狀、大小、位置后，函數式中的系數又隨之怎樣變化呢？

通過圖形，我們就可以總結出有關結論。這又是形到數的變化，再如指數函數的有關教學通過圖解，充分說明了這又是一個數形結合思路貫穿于始終。有關數形結合的思路在數學學習中隨處可見：代數方程可表示各種關系，它可解決有關長度、面積等問題；一元一次方程、二元一次方程分別表示平面直線、二次曲線等。

在數學解題時，我們要注意把形和數結合起來考察，根據問題的具體情況，把圖形性質的問題轉化為數量關系的問題，或者把數量關系的問題轉化為圖形性質的問題，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易，獲得簡便易行的成功方案。以形數相結合的思路進行教學，這就要求我們切實掌握形數相結合的觀點，鉆研教材，理解數學中的有關概念、公式與法則，掌握數形結合進行分析問題和解決的方法，從而提高運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力和解題能力。