淺談“數(shù)\\形結(jié)合思想”在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

摘要在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，運用“數(shù)、形結(jié)合的思想”，把抽象的“數(shù)”與數(shù)軸上具體的點相結(jié)合，使抽象的數(shù)具體化、形象化，便于學(xué)生直觀的理解、掌握數(shù)的有關(guān)概念，為數(shù)的運算奠定基礎(chǔ);將方程、方程組、不等式解與函數(shù)圖像進行有機的結(jié)合，讓學(xué)生直觀的感受到方程、不等式解的實際意義，從而拓寬解題思路、優(yōu)化解題途徑、利于方程、不等式解的情況的探究。

關(guān)鍵詞數(shù)形結(jié)合 抽象 直觀 理解 掌握 運用

中圖分類號:G633.6文獻標識碼:A

數(shù)與形這兩個基本概念，是數(shù)學(xué)的兩塊基石，可以說數(shù)學(xué)內(nèi)容大體上都是圍繞這兩個基本概念的提煉、演變、發(fā)展的。在數(shù)學(xué)發(fā)展過程中，數(shù)和形常常結(jié)合在一起，在內(nèi)容上互相聯(lián)系，在方法上互相滲透，在一定條下相互轉(zhuǎn)化。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，只有把數(shù)與形緊緊的結(jié)合在一起，可以使一些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，使很多數(shù)學(xué)問題迎刃而解，且解法簡單;從而使學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生強烈的情感、濃厚的興趣和探討的欲望。消除學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)感到單調(diào)、負擔和懼怕的心理，產(chǎn)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和積極追求的欲望。從而達到數(shù)學(xué)教學(xué)的最佳效果。下面談一談“數(shù)形結(jié)合的思想”在初中數(shù)學(xué)教學(xué)是的應(yīng)用。

1 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，促進學(xué)生理解和掌握有關(guān)數(shù)的概念

數(shù)是各種具體量的抽象，從歷史上看，人類對于數(shù)的認識大體上是按照以下的邏輯順序進行的:自然數(shù)→正有理數(shù)→有理數(shù)→實數(shù)→復(fù)數(shù)。每一次數(shù)的擴充，都離不開數(shù)軸這個形為載體，使抽象的數(shù)與具體的形緊密的結(jié)合起來，從而使數(shù)這個抽象的概念具體化、形象化，以便學(xué)生更好理解和掌握有關(guān)數(shù)的知識，進一步增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

國家《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》(以下簡稱《新課程標準》)中在數(shù)軸知識方面有以下兩點要求:(1)“能用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)”;(2)“知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)”。這是“數(shù)、形結(jié)合思想”在《新課程標準》中的具體要求，作為初中數(shù)學(xué)教師，在教學(xué)過程中要把握以下兩點:

1.1數(shù)軸——使抽象的有理數(shù)具體化

當學(xué)生第一次接觸負數(shù)這個概念時感到很抽象，難以理解。在教學(xué)過程中，我們由學(xué)生日常生活中經(jīng)常接觸的溫度計的知識，引入數(shù)軸，這樣就能把數(shù)學(xué)中抽象的有理數(shù)概念與數(shù)軸上的點有機的結(jié)合起來，讓學(xué)生充分理解每一個有理數(shù)都對應(yīng)著數(shù)軸上一個點。在熟練掌握有理數(shù)與數(shù)軸上點的關(guān)系后，為教材后面的知識打下基礎(chǔ)。因此，兩個有理數(shù)大小的比較，是通過這兩個有理數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置關(guān)系進行的(實數(shù)的大小比較也是如此)。相反數(shù)、絕對值概念則是通過相應(yīng)的數(shù)軸上的點與原點的位置關(guān)系來刻畫的。盡管我們學(xué)習(xí)的是(有理)數(shù)，但要時刻牢記它的形(數(shù)軸上的點)，通過滲透“數(shù)、形結(jié)合的思想”方法，幫助初一學(xué)生正確理解有理數(shù)的性質(zhì)及其運算法則。

1.2 數(shù)軸——使飄渺的無理數(shù)形象化

出現(xiàn)了正數(shù)開不盡方的情況，數(shù)又擴充到無理數(shù)(有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù))，無理數(shù)定義是“無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)”(在初中階段它有三種表示形式:圓周率，開不盡方數(shù)的方根，無限不循環(huán)小數(shù))，這個概念本身很抽象，一般學(xué)生只能靠機械記憶，很難正確理解。“實數(shù)與數(shù)軸上的一一對應(yīng)”，這句話的實質(zhì)包含兩層含義，即:“每一個實數(shù)在數(shù)軸上都有唯一確定的點與它對應(yīng);反之，數(shù)軸上每一個點都對應(yīng)一個實數(shù)”。那么怎樣才能讓學(xué)生真正理解呢?首先，讓學(xué)生了解，每個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示出來，但是在數(shù)軸上的無數(shù)個點中，而其中有若干個點表示的并不是有理數(shù)，例如:在小學(xué)就知道圓周率值為3.1415926……是個無限不循環(huán)小數(shù)，不管我們保留多少位小數(shù)，都不可能寫出一個與值完全相等的有理數(shù)，因此，用有理數(shù)無法在數(shù)軸上表示出這個點。如果數(shù)軸上沒有這個數(shù)表示的點，在數(shù)軸就會出現(xiàn)了空隙，數(shù)軸也就不成直線了(像斷斷續(xù)續(xù)的虛線)，所以說:數(shù)軸上的每一個點都對應(yīng)一個實數(shù)。其次，怎樣能將一個實數(shù)在數(shù)軸上表示出來呢?例如;通過幾何作圖來實現(xiàn)在數(shù)軸上表示無理數(shù)“”這個點，如圖:1中的點A即為無理數(shù)“”這個點，同學(xué)們可以推廣到“…”也可以在數(shù)軸上把它們表示出來。也可以把一些無理數(shù)與用矩形的對角線來表示，如:“”是邊長為1的正方形對角線長;“…”分別是長為、2、……，寬為1的矩形對角線的長。

當然不是所有的無理數(shù)都能在數(shù)軸上表示出來的，比如: “”:我們知道可以等于圓的周長除以圓的直徑。如果以1為半徑畫圓，則=(c為圓的周長)，只要測量出圓的周長即可算出的值。我想可以先構(gòu)造出一個體積為2的長方體(長、寬、高分別為:1、1、2即可)，然后以這個體積的水倒入一個正方體中，如果能恰好裝滿，則這個正方體的體積就是2，它的邊長就是。這些相關(guān)的方法都通過用適當?shù)膱D形表示出相對應(yīng)的無理數(shù)，使抽象的無理數(shù)形象化、具體化，有利于學(xué)生的理解和掌握。

2 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生分析、問題解決問題的能力

在研究或解決數(shù)學(xué)問題時，正確運用“數(shù)、形結(jié)合思想”，把“數(shù)”與“形”有機地結(jié)合起來，能準確、快捷的找到待解問題的突破口，使抽象的問題具體化、復(fù)雜的問題簡單化，同時也拓寬了解題思路，另辟捷徑，優(yōu)化解題的途徑，提高解題能力。在《新課程標準》具體目標中，解二元一次方程組和一元二次方程方面，對于數(shù)形結(jié)合的思想做出如下明確的具體要求:“能根據(jù)一次函數(shù)的圖像求二元一次方程組的近似解”和“會利用二次函數(shù)的圖像求一元二次解的近似解”。下面舉例談?wù)剶?shù)形結(jié)合思想在解二元一次方程組和解一元二次方程中的有關(guān)應(yīng)用。

2.1 二元一次方程組、一元一次不等式的解與一次函數(shù)圖像之間的關(guān)系

學(xué)生在學(xué)習(xí)一次函數(shù)之后，知道每一個二元一次方程ax+by+c=o(a、b、c為常數(shù))，都可以轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)解析式y(tǒng)=-x-形式，每個一次函數(shù)解析式都能在平面直角坐標中畫出一條直線，這條直線上點的坐標就是這個二元一次方程的解(每一條直線上有無數(shù)個點，因此，一個二元一次方程就有無數(shù)個解)，而二元一次方程組的解，則是這兩個二元一次方程，轉(zhuǎn)化成的兩個一次函數(shù)的圖像在平面直角坐標中兩直線的交點坐標(平面中兩條直線有三種位置關(guān)系相交、平行、重合;對應(yīng)著二元一次方程組的解的三種情況唯一解、無解、無數(shù)解)。下面舉例說明一次函數(shù)圖像與二元一次方程組、一元一次不等式的解之間的關(guān)系。

例1:解二元一次方程組，按正常解法用加減消元法或代入消元法，進行消元，轉(zhuǎn)化為一元一次方程，進行有關(guān)計算解出方程組的解，這個過程比較抽象，學(xué)生沒的直觀感。如果我們借助一次函數(shù)的圖像解這個方程組，在同一坐標系中畫出y=-x+7與(是上面兩方程轉(zhuǎn)化得到的)的圖像，由交點坐標知(如圖2)

這個方程組的解為:

例2:已知函數(shù)y1=-2x+3和(選自2008年中考試題)

(1)x取何值時，y1=y2 ?(2)x取哪些值時，y1>y2? (3)x取哪些值時y1

解:(2)要使y1=y2，就是要使-2x+3=

解這個方程，得:x=2

即:當x=2時，y1=y2。

(2)要使y1>y2，就是要使-2x+3>

解這個不等式，得:x<2。

即:當x<2時，y1>y2。

(3)要使y1

解這個不等式，得:x>2。

即:當x>2時，y1

由圖3中的圖像也可以看出:這兩個函數(shù)圖像的交點是(2，-1)，也就是當x=2時，y1和y2的值相等，都等于-1;當x<2時，yl=-2x+3的圖像在y2=的圖像的上方，這說明此時y1>y2;當x>2時，yl=-2x+3的圖像在y2=的圖像的下方，這說明此時y1

2.2 一元二次方程解與二次函數(shù)圖像之間的關(guān)系

一元二次方程ax2+bx+c=0的解與二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖像之間，對于剛接觸二次函數(shù)的初三學(xué)生來說，它們好像沒有什么聯(lián)系，但隨著學(xué)習(xí)的不斷深入，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，當二次函數(shù)y=ax2+bx+c中的y=0時，即為一元二次方程;一元二次方程ax2+bx+c=0的解，實質(zhì)就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖像(拋物線)與x軸交點的橫坐標(拋物線與X軸有兩個交點、有一個交點和沒有交點三種情況與一元二次方程解兩個不相等的實數(shù)根、兩個相等的實數(shù)根和無實數(shù)根的三種情況是一致的)，從而，可以通過二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖像，來判斷一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情況，如果一個二元一次方程ax2+bx+c=0有解，則可以觀察二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖像(拋物線)與x軸的次交點橫坐標估計出解的近似值。下面舉例說明二次函數(shù)與一元二次方程、通過數(shù)形結(jié)合來解題的優(yōu)點。

例1:(2008年廣州市中考最后一題的第一問)問題一:畫出函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像回答下列問題:

(1)圖像與x軸交點的坐標是什么?

(2)當x取何值時，y=0?這里x的取值與方程x2-x-=0有什么關(guān)系?

(3)你能從中得到什么啟發(fā)?

解(1)由圖像可得與x軸的兩交圖4點坐標是(-0.5，0)、(1.5，0);

(2)當x= -0.5或x=1.5時，y=0，這里的x的取值就是一元二次方程x2-x-=0的解;

(3)二次函數(shù)圖像與x軸交點的橫坐標就是對應(yīng)一元二次方程的解。

由此例得出結(jié)論是:由二次函數(shù)圖像與x軸的交點坐標得知對應(yīng)一元二次方程的解，同時借助二次函數(shù)圖像理解一元二次方程根的幾何意義;也可以通過解一元二次方程得知相應(yīng)二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標。

2 利用二次函數(shù)的圖像估計一元二次方程的近似值解

例:根據(jù)二次函數(shù)y=x2-2x-10得到一系列對應(yīng)值，列表如下:

畫出函數(shù)的草圖(圖5)，根據(jù)上述條件判斷一元二次方程的一個近似解的范圍是( )

(A)-2.1

(C)-2.3

這里體現(xiàn)了逼進法。由(圖5)的圖像知道函數(shù)兩個解的大概范圍，再由逼進法，根據(jù)條件中的對應(yīng)值列表，找出方程近似解。

從上述例中我們感受到，在教學(xué)過程中，把“數(shù)”與“形”有機地結(jié)合起來，能夠促進學(xué)生對有關(guān)數(shù)學(xué)概念的理解和掌握;在解決某些數(shù)學(xué)問題過程時，可以避免繁雜的計算，能更準確、快捷地找到待解問題的突破口;從而提高學(xué)生的運算能力、邏輯思維能力和空間想象能力。

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準.北京師范大學(xué)出版社，2002.9.

[2] 中學(xué)數(shù)學(xué)教材教法.2008.3.

[3] 羅增儒.中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2000(6).