淺談幾種數學思想方法

摘要數學思想方法的種類很多，按照徐利治教授的分法可分為宏觀的數學方法和微觀的數學方法兩大類。本文通過幾個具體的例子說明了關系映射反演原則、數形結合和劃歸等數學思想方法的作用。說明了數學思想方法是數學的靈魂，是聯系數學中各類知識的紐帶，只有掌握了數學思想方法才能真正地掌握數學知識。

關鍵詞數學思想方法 關系映射反演原則 數形結合 劃歸

中圖分類號:G633.6文獻標識碼:A

方法論就是把某種共同的發展規律和研究方向作為討論對象的一門學問。各種學科都有自己獨具特點的方法論，而數學方法論主要是研究和討論數學的發展規律、數學的思想方法以及數學中的發現、發明與創新等法則的一門學科。

一般說來，數學方法論可分為宏觀的數學方法和微觀的數學方法，宏觀數學方法是指撇開數學內在因素進行數學發展規律研究的方法;微觀數學方法則指數學工作者專就數學內部體系結構中的特定問題進行分析研究必須遵循的方法。

每一個數學研究者都必須精通某些微觀的數學方法，微觀的數學方法包括很多具體的數學方法，如:歸納與類比、抽象分析法等等。

下面結合具體的例子來說明幾種微觀的數學方法是怎樣起作用的:

例1 一個球與正四面體的六條棱相切，若四面體的棱長為a，求這個球的體積。(2000年全國高中聯賽題)

解法一:設正四面體ABCD(見圖1)，六條棱都等于a，

作O1為面BCD的中心，連A、O1，延長B O1與CD交于E，則棱切球的球心O在A O1上，連B、O，E、O

解得:

于是

解法二:將整四面體AB1CD1置于正方體ABCD-A1B1C1D1中

此時與正四面體的六條棱相切的球轉化為與正方體六個面相切的球，見圖2。

O1為AC的中點，O2為BD的中點，連O1、O2，O1O2的中點O即為球心，球的半徑為OO1

通過以上兩種方法的對比，我們可以明顯地看出解法二優于解法一，它的計算量小得多，將一個問題簡化了，這是因為解法二應用了關系映射反演原則。

先對這一原則概略說明如下:令R表示一組原象的關系結構(或原象系統)，其中包含著待確定的原象X。令M表示一種映射(一一對應法則)，通過它的作用假定原象結構R被映成映像結構R*，其中自然包含著未知原象X的映像X*。如果有辦法把X*確定下來，則通過反演即逆映射I=M-1也就相應地把X確定下來。這就是關系映射反演工作原則的基本內容，可用框圖表示如圖3。

在例1中，我們對四面體的熟悉程度不如平行六面體，直接求解比較困難。通過觀察，我們可以得出這樣一個結論:作四面體的外接平行六面體，且使四面體的六條棱成為平行六面體的各個側面的對角線，此時，四面體與其外接平行六面體是一一對應的。所以我們將正四面體轉化到正方體進行求解。應用關系映射反演原則，圖三中的R(正四面體結構)和X(棱切球的體積)，通過M(即正四面體的六條棱成為正方體的各個側面對角線)，映成R*(正方體結構)和X*(正方體的內切球體積)，通過I=M-1(X和X*是同一球的體積)，也就把X確定下來了。

例2 設函數，若，，則關于的方程的解的個數為()

A、1 B、2C、3D、4

解法一: 由于，

解得:b=4 c=2

所以原方程

當時，解得，，

有三解，所以選C

解法二:根據已知條件，可將f(x)的圖形畫出，見圖4，再將g(x)=x的圖形畫出，由圖形容易看出有三個交點，易得正確答案C

比較以上兩種方法可知:解法一用的是純代數法，由于這道題的計算量不大，很容易用方程直接求出，但也很容易忽視當x>0時，f(x)=2的這種情況，所以很可能會漏掉一個解;解法二用的是數形結合的思想方法，只要對函數的圖形比較熟悉，畫出圖形，從圖形上直接得出結論，直觀，且不會漏選，多選，是一種比解法一快捷準確的方法。

數學所關注的是事物的數量關系和空間形式。或簡言之，數學研究數和形。但數和形是相互關聯著的，通過數量關系可以了解形的性狀，通過形的性狀也可以了解數量關系，因此，在一定條件下，它們之間可以實現相互轉化。數和形是同一事物的兩個不同側面，數形結合有助于我們完整地了解事物的全貌。在處理數學問題時，若能從數和形兩方面結合著思考，常常能幫助我們找到解決問題的途徑。這種處理問題的思想方法也就稱為數形結合。

解法二正是運用了數形結合使得問題簡單化、直觀化、有利于我們快速準確作答。

例3設P為平行四邊形ABCD內部一點，證明:∠BAP=∠PCB當且僅當∠PBA=∠ADP

證明:如圖5所示，過P作PP’平行且等于AB，連B、P’ ，C、P’

圖5

則∠BC P’=∠ADP，且因為四邊形ABP’P是平行四邊形，所以∠BAP=∠PP’B，∠PBA=∠BP P’。

于是 ∠BAP=∠PCB∠P P’B=∠PCBB、P’、C、P四點共圓∠BPP’=∠BC P’∠PBA=∠ADP

例4 如果，求證X、Y、Z成等差數列。

證明:(1)當X-Y≠0時，則是一元二次方程

的判別式，由△= 0知該方程有兩相等的實根。但由

推得:T = 1是它的根

所以

即

X、Y、Z成等差數列

(2)當時，根據已知條件也有

因為，

X、Y、Z仍成等差數列

由例3、例4可知:直接求解并不容易，例3將問題轉化到同一個平行四邊形，再利用四點共圓求證結論;例4將等式轉化為方程，利用方程的根與系數的關系求證結論。顯而易見，例3、例4都是用了轉化的數學方法。

轉化又稱為化歸，是數學中一種重要的思想和方法，即把面對的新問題轉變成已經解決的問題。化歸的途徑有三大類:向基本模型化歸;向特殊化歸;向低層次化歸。

基本模型即是已經建立模式化解決方法的問題，如果我們能把所給的問題化歸到已知的數學模型，則此問題的解決方法就由這種模型現成地給出了。基本模型有很多種類，如方程模型、函數模型等等。例4就是化歸為方程模型。

特殊的常是較簡單的和容易把握的，對于一般性的問題，我們總是希望通過一些手段化為特殊的，從而借助特殊將一般性問題解決。向特殊化歸的手段多種多樣，針對不同的問題，采取不同的方法，例如:“割”、“補”、和“轉移”的方法是平面幾何和立體幾何中使圖形向特殊化歸的基本方法，例3用的就是這種方法;“變換法”是使式和方程向特殊化歸的基本方法。

由于事物的發展是從低層次到高層次，所以低層次的問題相對來說比較簡單，而且低層次的情況我們是比較熟悉的，所以我們解決問題時，常把高層次的問題化歸到低層次。向低層次化歸的方法也非常多:通過平移法、射影法、截面法和展開法可將立體幾何問題向平面幾何化歸。

解決一個問題可能會同時用上幾種方法，如例1用的是關系映射反演原則，也可以說是用了化歸的方法，因為解法二采用了“補”的方法，將正四面體“補”成正方體，而正方體正是我們所熟悉的特殊模型，所以非常容易地求解出來。

通過以上以幾個例子，我們知道，數學思想方法是數學的靈魂，是聯系數學中各類知識的紐帶，如果忽視了數學思想，就會失去各類知識間的內在聯系，失去認識網絡的縱橫交錯，就不可能形成完善的認識結構，更談不上全面提高思維素質，而有了數學思想，知識也不再成為獨立的、零散的東西，方法也就不再是死板的教條，這樣就有助于使我們形成完善的認識結構，全面提高我們的思維素質。