中點四邊形的規律探索

何謂中點四邊形？依次連接四邊形各邊中點所得的四邊形稱為中點四邊形。

一、例題解析

例1：在北師大版教材《數學》九年級上冊第三章中有這樣一道題目：任意作一個四邊形，并將其四邊的中點依次連接起來，得到一個新的四邊形，這個新四邊形的形狀有什么特征？請證明你的結論，并與同伴進行交流。

在做這道題時，我請學生畫一畫、推一推、量一量、猜一猜并證一證。

思路點撥：為了說明題目的一般性，我們在教材原圖（圖1）的基礎上再畫出圖2。該題目是探索四邊形EFGH的形狀，我們可從四邊形EFGH的四條邊的數量關系和位置關系入手。由題設知點E，F分別為AB，BC的中點，符合三角形中位線定理的條件，可構造三角形的中位線，故連接AC，則EF是ΔBAC的中位線，同理GH是ΔDAC的中位線。

解：如圖1、圖2，四邊形EFGH是平行四邊形。證明如下：

連接AC，

∵點E，F分別是邊AB，BC的中點，

∴EF∥GH，EF=GH。

∴四邊形EFGH是平行四邊形(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)。

評注：該題也可連接BD，通過證EF∥GH，FG∥EH，或證EF=GH，FG=EH，均可獲得結論。這是對平行四邊形的定義和判定定理的考查。解該題的思路是構造三角形及其中位線，這是數學中常用的“建模”思想，把四邊形兩邊的中點轉化為三角形兩邊的中點，又體現出轉化思想。從該題的推理過程我們發現：中點四邊形EFGH的形狀是由原四邊形ABCD的兩條對角線AC和BD的數量關系和位置關系來確定的，不論原四邊形的形狀怎樣改變，中點四邊形的形狀始終是平行四邊形。

二、繼續探究

1.如果把上題中的“任意四邊形”改為“平行四邊形”，它的中點四邊形是什么形狀呢？

根據三角形的中位線的性質定理可知：EH∥FG，EH=FG，所以，平行四邊形ABCD的中點四邊形EFGH還是平行四邊形。證明方法和例1類似。

2.把“任意四邊形”改為“菱形”或“矩形”，它的中點四邊形仍是平行四邊形嗎？是不是更特殊？

依次連接四邊形各邊中點所得的新四邊形的形狀與哪些線段有關系？有怎樣的關系？

思路點撥：以菱形的中點四邊形為例，由于菱形的兩條對角線互相垂直，因此其中點四邊形除具有對邊平行且相等的性質外，還可推出鄰邊互相垂直，故菱形的中點四邊形是矩形。因為矩形的兩條對角線相等，所以可推出矩形的中點四邊形是菱形。證明方法和例1類似。

3.把任意四邊形改為“正方形”，它的中點四邊形是什么四邊形？

思路點撥：正方形的對角線既相等又互相垂直，所以，正方形的中點四邊形是正方形，證明方法和例1類似。

反過來，中點四邊形為正方形的圖形舉例如下：

通過觀察和探究上圖可以知道，中點四邊形是正方形的原四邊形不只是正方形，只要當原四邊形的兩條對角線滿足相等且互相垂直時，它的中點四邊形就是正方形。

4.把任意四邊形改為“一般梯形、直角梯形、等腰梯形”，它的中點四邊形又是什么四邊形呢？

通過觀察和探究，我們會發現它們的中點四邊形是平行四邊形，當它是等腰梯形時，它的中點四邊形又是特殊的平行四邊形——菱形。

三、小結

結合我們剛才探究的各種圖形，我們可以總結如下：

任意四邊形的中點四邊形都是平行四邊形；

平行四邊形的中點四邊形是平行四邊形；

矩形的中點四邊形是菱形；

菱形的中點四邊形是矩形；

正方形的中點四邊形是正方形；

一般梯形的中點四邊形是平行四邊形；

直角梯形的中點四邊形是平行四邊形；

等腰梯形的中點四邊形是菱形。

四、問題討論

結合剛才的證明過程，討論并思考：

（1）中點四邊形的形狀與原四邊形的什么有密切關系？

（2）要使中點四邊形是菱形，原四邊形一定要是矩形嗎？

（3）要使中點四邊形是矩形，原四邊形一定要是菱形嗎？

通過畫一畫、推一推、量一量、猜一猜和證一證，學生得出以下結論：

（1）中點四邊形的形狀與原四邊形的對角線有密切關系；

（2）只要原四邊形的兩條對角線相等，就能使中點四邊形是菱形；

（3）只要原四邊形的兩條對角線互相垂直，就能使中點四邊形是矩形；

（4）只要原四邊形的兩條對角線既相等又互相垂直，就能使中點四邊形是正方形；

（5）如果原四邊形的兩條對角線既不相等又不互相垂直，那么它的中點四邊形是平行四邊形。

通過探索和研究，我認為判定中點四邊形的形狀要抓住兩個關鍵點：一是三角形中位線定理的應用，二是原四邊形兩條對角線的數量關系和位置關系。為了便于學生更好地理解和掌握，我把常見的中點四邊形形狀歸納出來。通過對中點四邊形規律的探索，我對這個問題有了更深入的理解。