淺論數學悖論的積極意義

摘 要： 數學悖論是指在當前的數學學科理論體系下由一些“正確”的事實或“可接受”的約定出發，經過嚴密正確的邏輯推理得到的矛盾的數學結論。它既具有極強的思辨品格，又具有濃厚的幽默色彩，對基礎數學的發展起著重要的作用。本文通過揭示數學悖論的認識根源、思維特色，挖掘出數學悖論的積極意義，進而激發學生對數學探索的情趣。

關鍵詞： 數學悖論 認識根源 思維特色 積極意義

數學常被視為嚴格、和諧、精確的學科，縱觀數學發展史，數學發展從來不是完全直線式的，它的體系不是永遠和諧的，而常常出現悖論。悖論（paradox）來自希臘語“para+dokein”，意思是“多想一想”。這個詞的意義比較豐富，是指在某一一定的理論體系的基礎上，根據合理的推理原則，推出了兩個互相矛盾的結論。數學悖論在數學理論中的發展是一件嚴重的事，因為它直接導致了人們對相應理論的懷疑，對數學可靠性的動搖，甚至導致“數學危機”。它有三種主要形式：1．一種論斷看起來好像肯定錯了，但實際上卻是對的（佯謬）；2．一種論斷看起來好像肯定是對的，但實際上卻錯了（似是而非的理論）；3．一系列推理看起來好像無懈可擊，可是卻導致邏輯上自相矛盾。

一、數學史中三個著名的悖論產生、消除及其歷史意義

數學史上曾出現過三次關于數學悖論的提出和化解過程。一是“希帕索斯悖論”與第一次數學危機的化解。公元前五世紀，當人們對數的認識僅限于有理數范圍時，古希臘的著名數學家和哲學家畢達哥拉斯提出了“萬物皆數”的著名論斷，其數學體現就是“一切現象均可表示為整數或整數之比”。此后該學派的成員希帕索斯提出了一個新問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少？他發現這一長度既不能用整數表示，也不能用分數表示，而只能用一個新數來表示。“希帕索斯悖論”導致了數學史上第一個無理數的誕生，之后，許多數學家正式研究了無理數，給出了無理數的嚴格定義，提出了一個含有有理數和無理數的新的數類——實數，并建立了完整的實數理論。“希帕索斯悖論”的消除是通過否定產生這一矛盾的前提“宇宙的一切現象都能歸結為整數或整數之比”而完成的，它使希臘人從依靠直覺、經驗轉向依靠證明，不僅擴大了數域，而且帶來了公理化方法數學學科向前發展。二是“貝克萊悖論”與第二次數學危機的化解。在十七世紀，微積分這一銳利無比的數學工具被牛頓、萊布尼茲各自獨立發現，許許多多數學疑難問題便迎刃而解。兩人的理論都建立在無窮小分析之上，但他們對作為基本概念的無窮小量的理解與運用卻是混亂的。因此，從微積分誕生時就遭到了一些學者的反對與攻擊，其中最猛烈的是英國大主教貝克萊。這一問題的提出在當時的數學界又引起新的大辯論，由此導致了第二次數學危機的產生。此后經過達朗貝爾、柯西、歐拉、康托爾等數學家歷經100多年的不懈努力，重建微積分學基礎，才結束了數學中暫時的混亂局面，同時也宣布了第二次數學危機的基本解決。在“貝克萊悖論”消除的過程中，數學家不是把“無窮小量”概念中所蘊含的樸素的辯證法因素連同其邏輯上的混亂一起拋掉，而是創立了一種更加自洽、更為嚴密的數學理論——極限理論作為微積分學的基礎使微積分方法趨于完善，令人信服。三是“羅素悖論”與第三次數學危機的化解。1903年，一個震驚數學界的消息傳出：集合論是有漏洞的。這就是英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論。這一悖論就像在平靜的數學水面上投下了一塊巨石，而它所引起的巨大反響則導致了第三次數學危機。1908年，策梅羅等建立了第一個公理化集合論體系——ZF系統，在很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷。公理化集合系統的建立，成功排除了集合論中出現的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數學危機。

數學史上由于“悖論”而導致的三次危機與解決過程中，盡管各種數學悖論產生的歷史背景不同，表現形式各異，但它們都是某一數學理論原有體系中蘊藏著（邏輯）矛盾的反應。數學家在設法消除這些已被發現的矛盾的進程中更新了數學觀念、完善了思維方法、推動了數學理論的發展，在更高的層次上實現了新的和諧統一與完善。因此數學悖論是促使數學理論不斷追求和諧、不斷趨于完善的一種重要的推動力，是給數學的發展帶來新的生機和希望的火種，它對數學的發展具有積極的作用。故而廣大數學工作者不應害怕、回避數學悖論，相反，應重視、研究數學悖論，充分使它發揮積極作用，不斷地促使數學理論向更高更深的層次發展和完善。

二、數學悖論的思維特色

通過以上數學史中著名的三個數學悖論，以及其它數學悖論的研究和學習，我們對數學悖論的思維特色有以下三點認識。

首先，悖論是人們對客觀事物的認識。希帕索斯悖論來源于對直角三角形的認識；貝克萊悖論是人們對有限和無限、存在和非存在兩種對立概念認識的深化；羅素悖論是人們對集合集合內部矛盾的認識。因此，悖論決不是脫離客觀實際的憑空想象，也不是客觀事物的規律性在人腦中簡單地移植，而是由主客體多次反復作用，認識達到高一級階段主客體作用的結果。當人們試圖以原有的理論和方法及邏輯去解釋一些新的現象和規律時，就產生了認識和客體之間的沖突，反映到人的主觀思維上，打亂了舊的思維層次，而新的思維不能同原有的知識合乎邏輯地聯系起來，這樣就產生了悖論。

其次，悖論常產生于某一學科新舊理論的結合部，反映了人們的思維從兩個對立范圍向辯證統一過渡。這無疑是思維方法的進步和飛躍。人們的思維也從抽象統一向具體統一升華，不再把有限和無限，存在和非存在看成非此即彼的兩個對立概念，而用極限理論完成了有限到無限的跨越，用無窮小量完成了存在到非存在的跨越，從而使它們辯證地統一起來，進而上升為辯證的思維方式。

再次，悖論是新穎獨到、創造性的思維活動，它既沒有有效的方法和確定的規則可以直接利用，又沒有人類以總結的科學理論為依據，顯示了思維的智力品質的獨創性。同時，我們還看到悖論形成的思維過程，不是循規蹈矩、人云亦云，而是獨立思考，對舊的思維過程的批判和自我認識，顯示了思維活動的批判性。

三、數學悖論在數學教學中的教育意義

數學悖論不僅存在于一些基礎的重要的數學理論中，而且在我們身邊、生活中不短缺。教師如果能夠結合學校數學課程，把我們在生活中見到的數學悖論加以合理地處理，它們就可以成為數學課堂教學中的“本原性問題”。下面舉兩個例子予以說明。

例1：假設你正在參加一個游戲節目，你被要求在三扇門中選擇一扇。其中一扇后面有一輛車，其余兩扇后面則是山羊。你選擇了一扇門，假設是1號門，然后知道門后面有什么的主持人開啟了另一扇后面有山羊的門，假設是3號門。然后他問你：“你想選擇2號門嗎？”那么，改變你的選擇對你來說是一種優勢嗎？

這個問題源自美國電視娛樂節目“讓我們做個交易”（Let’s Make a Deal），后來被冠以節目主持人的名字“蒙提·霍爾悖論”。莎凡是吉尼斯世界紀錄中智商最高的人，她對這一問題的解答是應該換，因為換了之后有2／3的概率贏得汽車，不換的話概率只有1／3。她的這一解答引來了大量讀者信件，認為這個答案太荒唐了。有人說，如果這個解答代表了美國人的智力，那美國就沒希望了。因為直覺告訴人們，既然參賽者是從三扇門中任選一扇，那么選中汽車的概率就是1／3，換另一扇門的話概率仍然是1／3。實際上，從數學上說，莎凡是對的。參賽者做出第一次選擇時，會出現兩種可能性：選到了山羊，或是選到了汽車。因為有兩扇門背后都是山羊，所以參賽者選到山羊的概率是2／3；相應地，選到汽車的概率是1／3。此時，主持人打開了一扇背后是山羊的門，我們假設參賽者決定更改選擇。那么，假如參賽者一開始選的是山羊（2／3的可能性），那么他就會換到汽車；假如參賽者一開始選的是汽車（1／3的可能性），他就會換到山羊。也就是說，參賽者更改自己的選擇便會有2／3的概率獲得汽車。教師從數學概率的視角討論這個問題，可以幫助學生深刻認識到概率才是“生活的真正指南”，直覺固然重要，但并不像看上去那樣可靠。

例2：譬如說，有兩個互不相識的的人坐同一架飛機。二人對話：甲：“這么說，你是從波士頓來的啰！我的老朋友露茜·瓊斯是那兒的律師。”乙：“這個世界是多么小啊！她是我妻子最好的朋友！這是不大可能的巧合嗎？”

統計學家已經證明并非如此。很多人在碰到一位陌生人，尤其是在遠離家鄉的地方碰到一個生人，而發現他與自己有一個共同的朋友時，他們都會感到非常驚訝。在麻省理工學院，由伊西爾領導的一組社會科學家對這個“小世界悖論”作了研究。他們發現，如果在美國任選兩個人，平均每個人認識大約1000個人。這時，這兩個人彼此認識的概率大約是1/100000，而他們有一個共同的朋友的概率卻急劇升高到1/100。而他們可由一連串熟人居間聯系（如上面例舉的二人）的概率實際上高于百分之九十九。換言之，如果布朗和史密斯是在美國任意選出的兩個人，上面的結論就表示：一個認識布朗的人，幾乎肯定認識一個史密斯熟識的人。通過這個例子的學習，可以幫助學生清楚地認識到兩個陌生人在離家很遠的地方相遇而有著共同的熟人就不足為怪了。這種關系網絡還可解釋很多其他不尋常的統計學現象，例如流言蜚語和聳人聽聞的消息不脛而走，一條可靠的情報也在料想不到的短時間里就為很多人知道了。

由此可見，教師研究一些悖論，教一點悖論是很有必要的事。數學少不了悖論，數學公理系統沒有悖論就不是完備的，我們不是去容忍悖論而是去消除悖論，在消除悖論的過程中提高認知水平。數學教學中常常因為悖論的思考復雜性而棄置不用，筆者相信悖論的使用不僅不會增加難度，反而會使問題更富趣味性和研究性，更有利于激發學生對數學學習的興趣；有利于向學生介紹重要的數學思路；有利于開發豐富多彩的數學學習活動；有利于幫助學生洞察數學問題的解題過程；有利于培養學生辯證的、開創性的、批判性的思維方式；有利于提高學生對現代數學所具有的美妙、多樣，甚至幽默性質的鑒賞力。從這個意義上說，沒有悖論的數學學習是危險的，沒有悖論思想的數學教學是蒼白的。數學家同時也是悖論大師，悖論不是目的，以悖論為手段學會創新才是目標。

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